4．四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于(　)

A．30°　　 　　　 B．45°　　 C．60°　　 　D．90°

解析：取AD中点G，连结EG、GF，则GE CD，GE=AB

∵CD=2AB 　∴GE=2GF，∵EF⊥AB，∴EF⊥GF．

∴∠GEF=30°

答案：A

3．在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B-AD-C后，BC＝a，这时二面角B-AD-C的大小为(　)

A．30°　　　　 　　 B．45°　　　 　 C．60°　　 　　　 D．90°

解析：折起后△BCD为正三角形．

答案：C

2．平面α的斜线与α所成的角为30°，则此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为(　)

A．30°　　 　　　　 　B．60°　 　　　　 　　C．90° 　　　 　　D．150°

解析：本题易误选D，因斜线和α内所有不过斜足的直线为异面直线，故最大角为90°．

答案：C

1．异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一点，则过P点且与a、b所成的角都是30°的直线有(　)

A．1条　　 　 B．2条　　 　 　　　 C．3条　　 　　　　 D．4条

解析：将a、b平移到点P，则过P与a、b所成的角都是30°的直线为2条．

答案：B

2．向量法是把求角的问题转化为求两向量的夹角．这里平面的法向量常用待定系数法求解，平面的法向量是关键．

学生练习

1．几何法一般要有三个步骤．

(1)作图：如上例中作出二面角的平面角及题中涉及的有关图形等；

(2)证明：证明所给图形是符合题设要求的；

(3)计算：在证明的基础上计算得出结果．

9．三种空间角的向量法计算公式：

⑴异面直线所成的角：；

⑵直线与平面(法向量)所成的角：；

⑶锐二面角：，其中为两个面的法向量

题型讲解

例1 直三棱柱A₁B₁C₁-ABC，∠BCA=90°，点D₁、F₁分别是A₁B₁、A₁C₁的中点，BC=CA=CC₁，则BD₁与AF₁所成角的余弦值是(　)

A．　　　 　　 B．　　　 C．　 　　　　 D．

解法一：(几何法)如图，连结D₁F₁，

则D₁F₁ 　　

　BC　 ∴D₁F₁

设点E为BC中点

∴D₁F₁ BE　 　EF₁

∴∠EF₁A或补角即为所求

由余弦定理可求得cos∠EF₁A=．

解法二：(向量法)建立如图所示的坐标系，设BC=1

则A(－1，0，0)，F₁(－，0，1)，

B(0，－1，0)，D₁(－，－，1)

即 =(，0，1)， =(－， ，1)

∴cos<， >=

点评： 解法一与解法二从两个不同角度求异面直线所成的角．解法一体现传统方法作-证-算；解法二把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点．

例2　 　在正四面体ABCD中，E为AD的中点，求直线CE与平面BCD成的角．

分析:求线面角的关键在于找出斜线在平面内的射影，即找垂面，有了垂面即可在垂面内作交线的垂线，线面角即可作出，然后转化到三角形中求解．

解法一: 取BC的中点F，连结AF、DF

∵正四面体ABCD

∴BC⊥AF，BC⊥DF

∴BC⊥面AFD，

而BC平面BCD

∴面AFD⊥面BCD

过E作EH⊥DF于H，

而DF平面BCD，则EH⊥面BCD

则∠ECH为CE与面BCD所成的角．

在Rt△CEH中，sin∠ECH=．

即CE与平面BCD成的角为arcsin．

解法二：如图建立以三角形BCD的中心O为原点，,OD,OA依次为y轴，z 轴X轴平行于BC

设正四面体ABCD的棱长为，

则

∴

∵E为AD的中点，∴

∴

又因为平面BCD的法向量为，

∴即CE与平面BCD成的角满足：

　

点评：求线面角的两种方法

例3 　如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB＝2，BC＝BB₁＝1，E为D₁C₁的中点，求二面角E-BD-C的正切值．

解法一：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，

∴作EF⊥面BCD，而E为的中点，则F为CD的中点，过F作FM⊥BD交BD于M，连EM，由三垂线定理知EM⊥BD，

∴∠EMF就是二面角E-BD-C的平面角，)又∵AB＝2，BB₁＝BC＝1，EF＝1，

FM＝1×＝

∴tan∠EMF＝．

解法二：∵S_△BDF＝S_△EBD·cosθ　

而S_△BDF＝BD·FM＝··＝，

又BD＝，ED＝，BE＝

∴ED²+BE²＝BD²

∴DE⊥EB　 故S_△EBD＝ED·EB＝

∴cosθ＝；tanθ＝．

解法三：过E作棱BD的垂线EM交BD于M，过C点作棱BD的垂线CN交BD于N，E、C是异面直线EM、CN上两点，CE＝．EM＝，

而FM⊥BD，CN⊥BD，F为CD中点，

∴MN＝DM＝

∴2＝cosθ

cosθ＝，tanθ＝．

解法四：如图，建立坐标系，则D(0,0,0),B(1,2,0),E(0,1,1)

设平面DBE的方程为：(过原点D=0)

则

∴平面DBE的一个法向量为

又因为平面BCD的一个法向量为

二面角E-BD-C的余弦值为：

∴

点评： 选此题意在通过此题使学生掌握二面角平面角的作法及求法．即三垂线定理及逆定理法，投影法，利用异面直线上两点间的距离公式法．

例4 　正方体ABCD-EFGH的棱长为a，点P在AC上，Q在BG上，且AP=BQ=a,

⑴求直线PQ与平面ABCD所成的角的正切值；

⑵求直线PQ与AD所成的角

分析：(1)先作出PQ在面ABCD内的射影，由于面BFGC⊥面ABCD，作QM⊥BC于M，则MP就是QP在面ABCD内的射影，∠QPM就是要求的角，也可以先求出面ABCD的法向量与的角，然后再求它的余角即得

(2)(向量法)解：建立坐标系后，求出

　 可由cos求解，

解(1)作QM⊥BC于M，连MP，则∠QMP就是直线PQ与平面ABCD所成的角则易得：QM=， MP=(1-

 tan∠QPM=

(2)建立空间直角坐标系如图，则

Q(0，　 P(

A(a,0,0),D(a,a,0),

,=(0,a,0)

　 QP与AD所成的角为90°

例5 　如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值

分析：此题中二面角的棱没有画出，按常规解可延长BA，CD相交于E，则SE是二面角的棱，因为DA⊥面ABS，过点A作SE的垂线交SE于F，连结DF，则∠ADF就是所求二面角的平面角

若用向量法求解，就是要求两个面的法向量所成的角或补角

解：如图建立空间直角坐标系，则依题意可知D(，C(1，1，0)，

S(0，0，1)，可知是面SAB的法向量

设平面SCD的法向量=(x，y，z)

　 　　 =0，

可推出令x=2,则有y=-1,z=1, =(2，-1，1)

设所求二面角的大小为θ，则

cosθ==

　, tan

例6　 已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD

(1)证明：C₁C⊥BD；

(2)当的值为多少时，能使A₁C⊥平面C₁BD请给出证明

证明：如设∠C₁CB=θ，由题设，∠C₁CD=∠BCD=θ令=，=，=，||=1，||=x，因为四边形ABCD为菱形，所以||=1，

　 (1)∵-

∴ ·=·(-)=·-·

=1·x·cosθ-1·x·cosθ=0

∴ C₁C⊥BD

　 (2)假设A₁C⊥平面C₁BD成立

则A₁C⊥C₁D，从而·=0

由于=-，=++

因此

·=(++)·(-)

= ²+·+·-·c-·-²

　　　　　 =²+·+·-²=1+1·1·cosθ-1·x·cosθ-x²

　　　　　 =(1-x)(1+x+cosθ)

从而(1-x)·(1+x+cosθ)=0

由于1+x+cosθ＞0，因此，x=1　

也就是说时，A₁C⊥平面C₁BD成立

点评：平行六面体的12条棱共分三组，每组四条棱两两平行，故可取共顶点的三条棱作为空间向量的基底，此题中，，三个共点向量为基底，其余向量可由此三个向量生成

小结：

空间角的求解有两种方法一种是几何法，另一种是向量法．

7．二面角的求法：⑴几何法；⑵向量法

8求二面角的射影公式：，

其中各个符号的含义是：是二面角的一个面内图形F的面积，是图形F在二面角的另一个面内的射影，是二面角的大小

6．二面角的平面角：

　 (1)过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做二面角的平面角

(2)一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足，则也是的平面角

说明：①二面角的平面角范围是；

②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直

4．公式：平面a的斜线a与a内一直线b相交成θ角，且a与a相交成j₁角，a在a上的射影c与b相交成j₂角，则有

5二面角：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为，两个面分别为的二面角记为；