3.等差数列5，4，3，2，…前多少项的和是－30？

解：由题意可知，a₁=5,d=4－5=－1.

由S_n=na₁+d,得－30=5n+×(－1),解之得：n₁=15,n₂=－4(舍去)

评述：利用方程思想，解决一些简单的相关问题.

Ⅳ.课时小结

通过本节学习，要熟练掌握等差数列前n项和公式:S_n==na₁+d及其获取思路.

Ⅴ.课后作业

2.(1)求正数数列中前n个数的和.

解：由题意可知正整数列为：1，2，3，…，n,…,

∴S_n=

(2)求正整数列中前n个偶数的和.

解：由题意可知正整数数列为：1，2，3，…，n,…,其中偶数可组成一新数列为：2，4，6，…2n,…，设正整数列中前n个偶数的和为S_n，则S_n==n(n+1).

评述：首先要理解题意，然后综合使用公式而求解.

1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{a_n}的S_n;

(1)a₁=5,a_n=95,n=10;

解：由S_n=,得S_n==500.

(2)a₁=100,d=－2,n=50;

解：由S_n=na₁+d,

得S₅₀=50×100×+×(－2)=2550.

(3)a₁=14.5,d=0.7,a_n=32

解：由a_n=a₁+(n－1)d,得32=14.5+(n－1)×0.7,解之得n=26

由S_n=na₁+d,得S₂₆=26×14.5+×0.7=604.5

评述：要熟练掌握等差数列求和公式的两种形式，以便根据题目所给条件灵活选用而求解.

2.增强学生的应用意识.

●教学重点

等差数列前n项和公式的推导、理解及应用.

●教学难点

灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题.

●教学方法

启发引导法

结合所学知识，引导学生在解决实际问题的过程中发现新知识，从而理解并掌握.

●教具准备

投影片一张：记作

例:如图(课本)，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔?

●教学过程

Ⅰ.复习回顾

［师］经过前面的学习，我们知道，在等差数列中：

(1)a_n－a_n－1=d(n≥1)，d为常数.

(2)若a，A，b为等差数列，则A=.

(3)若m+n=p+q,则a_m+a_n=a_p+a_q.(其中m,n,p,q均为正整数)

Ⅱ.讲授新课

［师］随着学习数列的深入，我们经常会遇到这样的问题.

(打出投影片)

这是一堆放铅笔的V形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？

首先，我们来看这样一个问题：1+2+3+…+100=？

对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果，你知道他是怎么算的吗？

高斯的算法是：首项与末项的和：1+100=101，

第2项与倒数第2项的和：2+99=101，

第3项与倒数第3项的和：3+98=101，

……

第50项与倒数第50项的和：50+51=101，于是所求的和是101×=5050.

这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n,…的前100项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解.

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，即S_n=a₁+a₂+…+a_n,　　 ①

把项的次序反过来，S_n又可写成S_n=a_n+a_n－1+…+a₁ ②

①+②2S_n=(a₁+a_n)+(a₂+a_n－1)+…+(a_n+a₁)

又∵a₂+a_n－1=a₃+a_n－2=a₄+a_n－3=…=a_n+a₁,∴2S_n=n(a₁+a_n),即：S_n=

若根据等差数列{a_n}的通项公式，S_n可写为：S_n=a₁+(a₁+d)+…+［a₁+(n－1)d］　 ①,把项的次序反过来，S_n又可写为：S_n=a_n+(a_n－d)+…+［a_n－(n－1)d　 ②］,把①、②两

边分别相加，得2S_n==n(a₁+a_n),即：S_n=.

由此可得等差数列{a_n}的前n项和的公式S_n=.

也就是说，等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.

用这个公式来计算1+2+3+…+100=？我们有S₁₀₀==5050.

又∵a_n=a₁+(n－1)d,∴S_n=

∴S_n=或S_n=na₁+d

有了此公式，我们就不难解决最开始我们遇到的问题，下面我们看具体该如何解决？

(打出投影片)

［师］分析题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自上而下各层的铅笔成等差数列，可记为{a_n}，其中a₁=1,a₁₂₀=120,n=120.

［生］解：设自上而下各层的铅笔成等差数列{a_n}，其中n=120,a₁=1,a₁₂₀=120.

则：S₁₂₀==7260

答案：这个V形架上共放着7260支铅笔.

下面我们再来看一例题：

等差数列－10,－6,－2,2，…前多少项的和是54?

分析：先根据等差数列所给出项求出此数列的首项，公差，然后根据等差数列的求和公式求解.

解：设题中的等差数列为{a_n}，前n项为的S_n，由题意可知：a₁=－10,d=(－6)－

(－10)=4，S_n=54

由等差数列前n项求和公式可得： －10n+×4=54

解之得：n₁=9,n₂=－3(舍去)

答案：等差数列－10,－6,－2,2,…前9项的和是54.

Ⅲ.课堂练习

［生］练习课本

1.提高学生的推理能力.

2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.

1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.

等差数列前n项和公式：S_n=

16．王宏给张老师留了一张便条，有四处用词不得体。请将不得体的词语找出来并进行修改。(4分)

张老师：

　　　　 惊闻您生病的噩耗，我悲痛欲绝，希望您竭尽所能、早日康复，光顾我们的身边。

　 (1)将　　　 　　　改为　　　　　　　 。

　 (2)将　　　　　　 改为　　　　　　　 。

　 (3)将　　　　　　 改为　　　　　　　 。

　 (4)将　　　　　　 改为　　　　　　　 。