33．(朝阳·文·题19)

已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点，过点的直线与椭圆相交于不同的两点．

⑴求椭圆的方程；

⑵是否存直线，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

[解析]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑴设椭圆的方程为，

由题意得

解得，

故椭圆的方程为　 5分

⑵若存在直线满足条件，设直线的方程为

由

得

因为直线与椭圆相交于不同的两点．

设两点的坐标分别为

所以

整理，得

解得．

又

且．即．

所以

即

所以

解得．所以．

于是，存在直线满足条件，其方程为．

32．(朝阳·理·题19)

已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点，过点的直线与椭圆在第一象限相切于点 ．

⑴求椭圆的方程；

⑵求直线的方程以及点的坐标；

⑶是否存过点的直线与椭圆相交于不同的两点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

[解析]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑴设椭圆的方程为，由题意得

解得，故椭圆的方程为．

⑵因为过点的直线与椭圆在第一象限相切，所以的斜率存在，故可设直线的方程为．

由

得． ①

因为直线与椭圆相切，所以．

　　　　　　　　　　　　 整理，得．解得．

所以直线的方程为．

将代入①式，可以解得点横坐标为，故切点坐标为．

⑶若存在直线满足条件的方程为，代入椭圆的方程得

．

因为直线与椭圆相交于不同的两点，设两点的坐标分别为，

所以

所以．

又，

因为，即，

所以．

即．

所以，解得．

因为为不同的两点，所以．

于是存在直线满足条件，其方程为．

31．(崇文·文·题19)

已知椭圆短轴的一个端点，离心率．过作直线与椭圆交于另一点，与轴交于点(不同于原点)，点关于轴的对称点为，直线交轴于点．

⑴求椭圆的方程；

⑵求的值．

[解析]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑴由已知，．

所以椭圆方程为 ．

⑵设直线方程为．令，得．

由方程组　 　可得　 ，即

．

所以 ，

所以 ，

　　 ．

所以 ．

直线的方程为 ．

令，得．

所以 =．

30．(崇文·理·题19)

已知抛物线，点关于轴的对称点为，直线过点交抛物线于两点．

⑴证明：直线的斜率互为相反数；

⑵求面积的最小值；

⑶当点的坐标为，且．根据⑴⑵推测并回答下列问题(不必说明理由)：

①直线的斜率是否互为相反数？

②面积的最小值是多少？

[解析]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑴设直线的方程为．

由　 可得 ．

设，则．

∴

∴

．

又当垂直于轴时，点关于轴，显然．

综上，．　　　 ---------------- 5分

⑵=．

当垂直于轴时，．

∴面积的最小值等于．　　　 ----------------10分

⑶推测：①；

②面积的最小值为．

29．(宣武·文·题19)

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是其左顶点，点在椭圆上且．

⑴求椭圆的方程；

⑵若平行于的直线和椭圆交于两个不同点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．

[解析]　　　　　　 ⑴设椭圆的标准方程为，

∵左顶点．

∴，

又∵在椭圆上，

∴，

∴椭圆的标准方程为．

⑵设

∵的斜率为，∴设直线的方程为，

代入，得．

∴

又到直线的距离，

∴的面积，

当且仅当时取等号，此时满足题中条件，

∴直线的方程为．　　　　

28．(宣武·理·题19)

已知椭圆的离心率为．

⑴若原点到直线的距离为，求椭圆的方程；

⑵设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于两点．

　 i)当，求的值；

　 ii)对于椭圆上任一点，若，求实数满足的关系式．

[解析]　　　　　　 ⑴∵，∴．

∵，∴．

∵，∴，解得．

椭圆的方程为．

⑵

i)∵，∴，椭圆的方程可化为

　　　 …………①

易知右焦点，据题意有：　　 ………②

由①，②有：　　 　…………③

设，

∴　 　　　　　　　

ii)显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立．

设，

∵，∴

又点在椭圆上，∴　　 ……………④

由③有：

则

　　　　　 ……………⑤

又在椭圆上，故有　　 …………⑥

将⑥，⑤代入④可得：．

27．(东城·文·题19)

已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

⑴求椭圆C的方程；

⑵设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；

⑶在⑵的条件下，证明直线与轴相交于定点．

[解析]　　　　　　 ⑴由题意知，

所以，即，

又因为，所以，

故椭圆的方程为：．

⑵由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为　 ①

联立消去得：，

由得，

又不合题意，

所以直线的斜率的取值范围是或．

⑶设点，则，

直线的方程为，

令，得，

将代入整理，得．　　 ②

由得①代入②整理，得，

所以直线与轴相交于定点．

26．(东城·理·题19)

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．

⑴求椭圆的方程；

⑵设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；

⑶在⑵的条件下，过点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围．

[解析]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑴由题意知，所以．即．

又因为，所以，．

故椭圆的方程为．

⑵由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为．

由得．　　 ①

设点，，则．

直线的方程为．

令，得．

将，代入整理，得．②

由①得，代入②整理，得．

所以直线与轴相交于定点．

⑶当过点直线的斜率存在时，

设直线的方程为，且，在椭圆上．

由得．

易知．

所以，，．

则．

因为，所以．

所以．

当过点直线的斜率不存在时，其方程为．

解得，．此时．

所以的取值范围是．

25．(西城·文·题18)

椭圆：的离心率为，且过点．

⑴求椭圆的方程；

⑵设直线：与椭圆交于两点，为坐标原点，若直角三角形，求的值．

[解析]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑴已知，

所以，又，所以，

所以椭圆C的方程为．

⑵联立，消去y得，

，

令，即，解得．

设A，B两点的坐标分别为，

i)当为直角时，则，

因为为直角，所以，即，

所以，

所以，解得；

ii)当或为直角时，不妨设为直角，

由直线的斜率为，可得直线的斜率为，

所以，即，

又，所以．

，

依题意，且，

经检验，所求值均符合题意，综上，的值为和．

24．(西城·理·题18)

椭圆：的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为．

⑴求椭圆的方程；

⑵设过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率．

[解析]　　　　　　 ⑴由已知，

又，解得，

所以椭圆的方程为；

⑵根据题意，过点满足题意的直线斜率存在，设，

联立，消去y得，

，

令，解得．

设、两点的坐标分别为，

ⅰ)当为直角时，

则，

因为为直角，所以，即，

所以，

所以，解得．

ⅱ)当或为直角时，不妨设为直角，

此时，，所以，即……①

又…………②

将①代入②，消去得，

解得或(舍去)，

将代入①，得所以，

经检验，所求k值均符合题意，综上，k的值为和．