4．椭圆的准线方程

对于，左准线；右准线

对于，下准线；上准线

2．椭圆的标准方程：， ()

3椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率

椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式

1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间的距离)的动点的轨迹

5.如图，已知圆C：(x+4)²+y²=4。圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切。圆 D与y轴交于A、B两点，点P为(-3，0).

(1)若点D坐标为(0，3)，求∠APB的正切值；

(2)当点D在y轴上运动时，求∠APB的正切值的最大值；

(3)在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出点Q坐标；如果不存在，说明理由.

§7.2圆锥曲线

4.设正方形ABCD(A、B、C、D顺时针排列)的外接圆方程为x²+y²-6x+a=0(a<9)，C、D点所在直线l的斜率为.

(1)求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率；

(2)如果在x轴上方的A、B两点在一条以原点为顶点，以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程；

(3)如果ABCD的外接圆半径为2，在x轴上方的A、B两点在一条以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程.

3. 如果实数x、y满足等式(x-2)²+y²＝3，则的最大值为：　　　　　　　 .

2.已知直线x=a(a＞0)和圆(x-1)²+y²=4相切 ，那么a的值是(　　 )

A.5　 　　B.4 　　　C.3 　　　D.2

1．直线截圆得的劣弧所对的圆心角为　　 (　　　 )

　　 A.　　B.　　　　C.　　　　D.

［例1］直线l经过P(2,3),且在x,y轴上的截距相等,试求该直线方程.

错解：设直线方程为:,又过P(2,3),∴,求得a=5

　　　　 ∴直线方程为x+y-5=0.

错因：直线方程的截距式: 的条件是:≠0且b≠0,本题忽略了这一情形.

正解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:,

∴直线方程为y=x

综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=x .

［例2］已知动点P到y轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P的轨迹方程.

错解：设动点P坐标为(x,y).由已知3

　　　　 化简3=x²-2x+1+y²-6y+9 .

　　　　 当x≥0时得x²-5x+y²-6y+10=0 .　 ①

当x＜0时得x²+ x+y²-6y+10=0 .　 ②

错因：上述过程清楚点到y轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得

(x-)²+(y-3)² = 　①　　 和　 (x+)²+(y-3)² = - 　②

两个平方数之和不可能为负数,故方程②的情况不会出现.

正解：　接前面的过程,∵方程①化为(x-)²+(y-3)² = ,方程②化为(x+)²+(y-3)² = - ,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P的轨迹方程为: (x-)²+(y-3)² = (x≥0)

［例3］m是什么数时，关于x,y的方程(2m²+m-1)x²+(m²-m+2)y²+m+2=0的图象表示一个圆？

错解：欲使方程Ax²+Cy²+F=0表示一个圆，只要A=C≠0，

　　　　 得2m²+m-1=m²-m+2，即m²+2m-3=0，解得m₁=1，m₂=-3，

　　　　 ∴当m=1或m=-3时，x²和y²项的系数相等，这时，原方程的图象表示一个圆

错因：A=C，是Ax²+Cy²+F=0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要条件是：

A=C≠0且＜0.

正解：欲使方程Ax²+Cy²+F=0表示一个圆，只要A=C≠0，

　　　　 得2m²+m-1=m²-m+2，即m²+2m-3=0，解得m₁=1，m₂=-3，

(1)　 当m=1时，方程为2x²+2y²=-3不合题意，舍去.

(2)　 当m=-3时，方程为14x²+14y²=1,即x²+y²=,原方程的图形表示圆.

［例4］自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x²+y²-4x-4y+7＝0相切，求光线L所在的直线方程.

错解：设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A′(-3，-3)，于是L′过A(-3，-3).

　设L′的斜率为k，则L′的方程为y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，

已知圆方程即(x-2)²+(y-2)²＝1，圆心O的坐标为(2，2)，半径r＝1

因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1

　即

　整理得12k²-25k+12＝0

解得k＝　L′的方程为y+3＝(x+3)

　即4x-3y+3＝0　因L和L′关于x轴对称

　故L的方程为4x+3y+3＝0.

错因：漏解

正解：设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A′(-3，-3)，　于是L′过A(-3，-3).

　设L′的斜率为k，则L′的方程为y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，

　已知圆方程即(x-2)²+(y-2)²＝1，圆心O的坐标为(2，2)，半径r＝1

　因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1

　即

　整理得12k²-25k+12＝0

　解得k＝或k＝

　L′的方程为y+3＝(x+3);或y+3＝(x+3)。

　即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0

　因L和L′关于x轴对称

　故L的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0.

［例5］求过直线和圆的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：

(1) 过原点；(2)有最小面积.

解：设所求圆的方程是：

　　　　　　　　 即：

(1)因为圆过原点，所以，即

故所求圆的方程为：.

(2)　　　 将圆系方程化为标准式，有：

当其半径最小时，圆的面积最小，此时为所求.

故满足条件的圆的方程是.

点评：(1)直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比较方便；当然也可以待定系数法。(2)面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义，即直线与相交弦为直径时圆面积最小.

［例6］(06年辽宁理科)已知点A()，B()(≠0)是抛物线上的两个动点，O是坐标原点，向量满足｜｜＝｜｜.设圆C的方程为

(1)证明线段AB是圆C的直径；

(2)当圆C的圆心到直线的距离的最小值为时，求的值.

解：(1)证明　∵｜｜＝｜｜，∴()²＝()²，

　整理得：＝0　∴+＝0

设M()是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则＝0

即　+＝0

整理得：

故线段AB是圆C的直径.

(2)设圆C的圆心为C()，则

∵，

∴

又∵+＝0　，＝－

∴－

∵≠0，∴≠0

∴＝－4

　＝

所以圆心的轨迹方程为

设圆心C到直线的距离为d，则

＝

当＝时，d有最小值，由题设得＝

∴＝2.

2．两圆的位置关系的判定方法.

设两圆圆心分别为O₁、O₂，半径分别为₁，₂，|O₁O₂|为圆心距，则两圆位置关系如下：

|O₁O₂|>₁+₂两圆外离；

|O₁O₂|=₁+₂两圆外切；

| ₁-₂|<|O₁O₂|<₁+₂两圆相交；

| O₁O₂ |=|₁-₂|两圆内切；

0<| O₁O₂|<| ₁-₂|两圆内含.