6．已知 ，则 等于(　　　 ) 　A．　B．　C．　D．

5． 的值为(　　　 ) 　A．－2　B．－1　C．2　D．0

4．若 ，且 ，则 的值是(　　　 ) 　A．　B．　C．　D．

3．已知 ，则 等于(　　　 ) 　A．　B．　C．　D．

2．已知 是第三象限角，且 ，则 等于(　　　 ) 　A． 　B． 　C．　D．

(五)板书设计

二倍角的正弦、余弦、正切 1．复述二倍角公式 2．由 ， 推出半角公式

1．课本例 2．例1 3．例2 4．例3

练习(投影) 总结提炼

典型例题

　例1．求 的值． 　分析：逆用二倍角公式，或构造对偶式列方程求解． 　解：解法一： 　 　 　 ， 　∴ ． 　解法二： 　原式 　　　 ． 　解法三：令 ， ． 　则 　　　 　　　 ． 　　∵ ，∴ ． 　从而有 ． 　小结：对于本题，如若简单地从形式上看，为利用二倍角正弦公式而同乘同除式子 ；或原式 后，简单地应用二倍角的余弦公式都将无益于问题的解决，反而会陷入思维的简单循环之中．因此，当我们面对一个较为陌生的问题时，应认真分析问题的特征，积极地进行联想化归，切实做到缜密稳妥地设计解题思路． 　(1)有些数学问题，可根据其本身特点，相应地构设与其相同“匹配”的另一整体，然后由其“相依而伴”的关系进行求解．如解法三，这种解题方法称为积式配对． 　(2)角度成等比(公比为2)的同名弦函数的乘积通常可按解法一、二来求解．

　例2．设 ， ，求 的值． 　分析：观察问题的角度状况，从已知条件和被求式的角度差异来看，一方面应将条件中的角度变换为 、 ，另一方面应将被求式中的角度 、 变换为 、 ．要实现上述想法只需将两已知条件相乘，将被求式利用升幂公式即可办到．解：两已知条件相乘，可得 ， 　化简为 ， 　∴ ． 　小结：根据问题的具体特点，从变换已知条件和被求式的角度入手，进行双向变换实现角度的统一，然后利用代入法将已知条件代入被求式，从而达到求值的目的，这就是解答本题的脉络．

　例3．已知 ， ．求 的值． 　分析：若对结论“切化弦”后再化简不难发现，只需求出 和 的值即可，注意到 ，就可以发现求解的途径了． 　解：∵ ，∴ ． 　又∵ ，∴ ， 　　∴ ， ． 　又∵ 　　　　 ， 　∴原式 　　　 　　　 ． 　小结：(1)本题也可以由 得 ，再将要求解的三角式化为用 表示的形式． 　(2)本题解法中巧妙地利用了“角的变换” ，使求解过程不致于繁杂． 　(3)若不注意 的范围，就会导致由 求出 而不知取舍．

　例4．设 ， ， ．求证： ． 　分析：条件恒等式的证明，要注意观察条件和结论之间的差异．主要是看角，看函数的名称、次数．对于本题，从角的差异入手，将角变形为 ， ，从已知条件变形入手，可证得结论． 　证明：由 ，得， 　整理，得 ． 　为 ， ，将上式两边同除以 ，得 ． 　小结：证明条件恒等式，一般有两种方法，即推出法与代入法，无论使用哪一种思路都要盯住目标，据果变形．若用推出法，则应盯住欲证等式的左、右两边，根据它们的状况(一般要看角、函数名称、次数)，采取恰当的措施来对条件等式进行变形，直到目标．若用代入法，就要盯住作为目标的被证等式的一边，根据它对欲证等式的另一边及条件进行变形，先创造机会，然后代入条件，最终推出目标．

　例5．如图，在某点 处测得建筑物 的顶端 的仰角为 ，沿 方向前进30米至点 处测得顶端 的仰角为 ，再继续前进 米至 点，测得顶端仰角为 ，求 的大小和建筑物 的高． 　分析：根据题意结合图形观察给出各数据间的关系，将题目数学化，抽象为纯数学问题． 解：由已知， 米， 米 　在 △ 中， ， 　在 △ 中， 　∴ ，同理可得： 　 　于是： 即 　而 　∴ 　 ， 　∴ 米 　于是： ，建筑物高为15米． 　小结：这是一个三角函数在测量方面的应用问题，在解决过程中运用了几何知识和方程的思想，但三角式的化简起到了关键作用．

扩展资料

有趣的米勒问题

　米勒(Johannes Miiller)，德国数学家，曾在莱比锡、维也纳学习天文学和三角学，1468年至1471年在维也纳大学任教授，1471年定居纽伦堡，从事天文学研究，米勒对三角学做出了贡献．大约在1461至1464年间，他写成《论三角》书，书中给出了有关球面三角学的正弦定理、余弦定理、计算了三角函数表，相当精确．他的这些工作使三角学脱离文学而成为一门独立的学科．另外，米勒在研究几何时采用了代数方法，这在当时是别具一格的． 　1471年，米勒向诺德尔(Christian Roder)教授提出以下十分有趣的问题： 　在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？(即在什么部位，可见角为最大？) 　在米勒的家乡哥尼斯堡，这个问题称为雷奇奥莫塔努斯(Reqiomontanus)的极大值问题．该问题本身并不难，然而作为载入世界数学史上的第一个极值问题而引人注目． 　下面这个简明解法是罗斯(Ad·Lorsch)给出的． 　如图1，设 为杆的上端点， 为杆的下端点． 垂直于地平面，垂足记为 ，于是线段长 ， 均为已知，以 为中心在地球表面上画的圆上的所有对 的视角都相等．因此，我们只需过 任作一条垂直于 的直线 并在这条水平地沿着地球表面的线上找出这样的点 ，使得在这点的可见角 最大． 　△ 的外接圆 必与 相切干 点．事实上，若 不与圆 相切，则除 点儿圆 与 还有另一个公共点 ，而对于线段 的中点 而言， 是圆 的圆内角，这时， ，这就与 是最大可见角矛盾． 　设过 的圆 与直线 相切于点 ，则 取得最大值．这是因为对 上异于 的任一点 而言， 是圆 的圆外角，所以 ．

点的位置可以这样来确定，根据切割线定理， ，即有 ． 　从而，我们得出结论：以是杆与地面垂直的垂足为圆心，以是杆两端到地面距离的乘积的算术根为半径，在地球表面上画圆，该圆周上的点对悬杆的视角为最大． 　1986年全国高考数学试题理科第五大题其实就是“米勒问题”：

　如图2，在平面直角坐标系中，在 轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点 ， ．试在 轴的正半轴(坐标原点除外)上求点 ，使 取得最大值． 　下面，我们运用高中数学知识结出这道高考题的一种简洁解法． 　解　 如图3，设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ， 的坐标为 ， ，并记 ， ， ，则 ，且 ．

　所以　 ． 　因此，当 ，即 时， 取得最大值 ． 　因为在 内 是增函数，所以当 时， 取得最大值 ．故所求的 点坐标为 ． 　更一般的“米勒问题”(解略)是： 　在已知直线 的同侧有 ， 两点，试在 上求一点 ，使 最大． 　将此问题特殊化，便可得到1984年西安市中学生数学竞赛试题： 　在直线 上求点 (如图3)，使 对线段 有最大视角，证明你的结论．

(原载《数学通讯》2000年第22期，宋庆文)

习题精选

(三)教学过程 1．设置情境 　请同学看教材第3页上的一段文字，它叙述的是一个生活中的实际问题： “如图1，是一块以点 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上画出一个内接矩形 辟为绿地，使其一边 落在半圆的直径上，另两点 、 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径为 ，如何选择关于点 对称的点 、 的位置，可以使矩形 的面积最大？”根据教材提示应用所学的倍角公式，同学们能尝试解答它吗？ 2．探索研究 　分析：要使矩形 的面积最大，就必须想办法把面积表示出来，不妨利用我们所学的三角知识，从角的方面进行考虑，设 ，则 ， ，所以 可以用 表示． 解：设 　 则 　 　 　∵ 　 ∴ 　当 时， 　 即 ， 　这时　 ， 答：点 、 分别位于点 的左、右方 处时 取得最大值 ． 　变式：把一段半径为 的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法才能使横截面的面积最大？ 　生：根据上题的结果可知这时圆内接矩形为内接正方形时面积最大． 　以上是倍角公式在实际生活中的运用，请同学们观察以下例题，并分析、思考后能否得出证明． 3．例题分析 [例1]求证： 　(1) ；(2) ； 　(3) ． 思考，讨论． 　我们知道公式 中 是任意的，所以我们可以用 来替换 ，这样就得到 　 　 　即　 　　　　　 　　 　上面三式左边都是平方形式，当 的值已知， 角的终边所在象限已知时，就可以将右边开方，从而求得： 　 　　　　　 以上两式相除又得： 　　　 　这三个式子称之为半角公式，“±”号的取舍得由 终边所在象限确定．

[例2]求证： 　 ． 　分析：从例1引出例2， ，右边是同一个三角函数，并且还要附上正负号，而所要证明的式子右边有两个三角函数，不带正负号．故我们不能利用上法，得另想办法． 　师：(边叙述边板书) 　 　 　∴ 　上式不含根号也不必考虑“±”号选取，通常用于化简或证明三角恒等式，同样可作半角公式运用．

[例3]已知： ，求 ， ， ． 　解： 　　 　　 　说明：①例1中(1)、(2)两式使用频率极高，正、逆使用都非常普遍．习惯从左到右，常称“扩角降幂公式”，从右到左常谓“缩角升幂公式”， 　②半角公式是二倍角公式的另一种表达方式，倍半关系是相对的． 练习(投影) 　1．已知： 　　　( )， 　　求：(1) ；(2) ． 　2．若 ，求： 的值． 　3．求： 的值．

参考答案： 解：1．∵ 　两边平方得　　　 　　　　∴ 　又∵ 　　　　 ∴ 　　∴ 　　　　 ∴ 　2．∵ 　　 ∴ 　　原式 　(3) 　　 　　 　　 　　 另解：设　 ……………………① 　　　 ……………………② 　①+②得 …………………………③ 　①－②得 ……④ 　③+④得 　　 ∴ 4．总结提炼 　(1)本节课我们由倍角公式出发解决了实际应用问题，得出结论“在一个圆的所有内接矩形中，以内接正方形的面积为最大”，另外由倍角公式解答了例1、例2，从而推导出半角公式，公式“±”号的选取决定于 终边所在的象限，例2的应用也很广泛，大家可根据题目的条件选择使用较为方便的形式． 　(2)从半角公式可以看出，半角的正弦、余弦、正切公式都可以用单角的余弦来表示． 　(3)若给出的 是象限角，则可根据下表决定符号．

的终边	一	二	三	四
的终边	一或三	一或三	二或四	二或四

　若给出的 是区间角，则先求 所在区间再确定符号． 　若没有给出确定符号的条件，则应在根号前保留“±”号．

(二)教学目标 　1．应用倍角公式解决本章开头的一个应用问题． 　2．活用倍角公式，推求半角公式．

(一)教学具准备 　投影仪

(四)板书设计

二倍角公式 应注意几个问题：

例1 例2 例3 例4

演练反馈 总结提炼

教学设计示例(二)

4.7二倍角的正弦、余弦、正切(第二课时)