(四)板书设计

课题________ 1．如何由 的图像 　 作 的图像 　 例1 2．如何由 的图像 　 作 的图像 　 例2

变换法作 的图像的流程图 演练反馈 总结提炼

典型例题

　例1．(l)利用“五点法”作函数 的图象，并指出这个函数的振幅、周期和初相．

　　(2)怎样由 的图象得到 的图象？

解：(1)列表：

	0				2
	0	2	0	－2	0

　描点：( ，0)，( ，2)，( ，0)，( ，－2)，( ，0)。

　用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数 在一个周期内的简图(图1)．把这个简图利用函数的周期性向左、右扩展，就得到函数 的简图．

　振幅 ，周期 ，初相

　(2)解法一

　 ①把函数 的图象上所有点向右平移 个单位，得到函数 的图象；②把函数 图象上所有点的根坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，得到函数 的图象；③把函数 图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，就得到函数 的图象见图1．

　解法二

　①把函数 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，得到函数 的图象；②把函数 图象上所有的点向右平移 个单位，得到函数 的图象；③把函数 的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的2倍(根坐标不变)，就得到函数 的图象见图1．

　例2．已知函数 在一个周期内的简图(如图)。求其相应的函数表达式，并说明它是 经过怎样变换得到的。

　 分析：应求出A、 、 ，观察图像易知振幅 ，周期 ，从而求得 ，对于 ，只需将点 代入解析式即可通过解方程获得。得知函数表达式则图像变换易知。

　解：因为 ，所以 ，又易知 ，所以 。将点 代入上式得 。即 ，由 得 ，所以 。

　它的图像可由 的图像作如下变换得到：

　小结：利用图像特征确定函数解析式 或根据代数条件确定解析式时，要注意以下几种常用方法：

　(1)振幅 ．

　(2)相邻两个最值对应的横坐标之差，或者一个单调区间的长度为 ，由此推出 值．

　(3)确定 值，一般用给定特殊点坐标代入解析式来确定．

　例3． 函数 ，当它表示一个振动量时，求出它的振幅、周期、频率。相位、初相．

　解：振幅 ，周期 ，频率 ，相位是 ，初相是 。

　例4． 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离 (厘米)和时间 (秒)的函数关系为

　(l)作出它的图像；

　(2)单摆开始摆动( )时，离开平衡位置多少厘米？

　(3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？

　(4)单摆来回摆动一次需多少时间？

　解：(l)找出曲线上的五个特殊点，列表如下：

	…						…
	…	0				2	…
	…	0	6	0	－6	0	…

　用光滑曲线连接这些点，得函数 的图像(如图)

　(2)当 时， ，即单摆开始摆动时，离开平衡位置3 。

　(3) 的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6 。

　(4) 的周期 ，所以单摆来回摆动一次需要的时间为1 。

　评注：在作图时，如无特殊声明，一般用五点法作图较简便

　例5．函数 的横坐标伸长到原来的两倍，再向左平移 个单位，所得到的曲线是 的图像，试求函数 的解析式．

　分析：这个问题有两种解法，一是考虑以上变换的“逆变换”，即将以上变换倒过来，由 变换到 ；二是代换法，即设 ，然后按题设中的变换分两步得： ，它就是 ，即可求得 、 、 的值．

　解：解法一：问题即是将 的图像先向右平移 个单位，得到 ；再将横坐标压缩到原来的 ，得 ，即 ．这就是所求函数 的解析式．

　解法二：设 ，将它的横坐标伸长到原来的两倍得到 ；再将其图像向左平移 个单位，得 ．

　∴ 解之得：

　∴ ，即 ．

　小结：以上两种解法各有“千秋”，均为求解类似问题的好方法，注意熟练掌握．

　例6．已知函数 ( ， ， )的图像的一个最高点为(2， )，由这个最高点到相邻最低点，图像与 轴交于(6，0)点，试求这个函数的解析式．

　解　 ∵最高点为(2， )，

　∴ ，由题意知从最高点到相邻最低点时交 轴于(6，0)，

　∴ ，即 ．

　∴ ．

　∴ 代入最高点坐标，

　 ，

　∴ ，

　∴ ．

　∴函数解析式为

扩展资料

音乐的数学

　乐谱的书写是数学在音乐上显示其影响的最为明显的地方。在乐谱中，我们可以找到拍号(4:4,3:4或1:4等)、每个小节的拍子、全音符、二分音符、四分音符、八分音符等等。谱写乐曲要使它适合于每音节的拍子数，这相似于找公分母的过程--在一个固定的拍子里，不同长度的音符必须使它凑成一个特定的节拍。然而作曲家在创造乐曲时却能极其美妙而又毫不费力地把它们与乐谱的严格构造有机的融合在一起。对一部完整的作品进行分析，我们会看到每一个音节都有规定的拍数，而且运用了各种合适长度的音符。

　除了上述数学与乐谱的明显联系外，音乐还与比例、指数曲线、周期函数以及计算机科学等相关联。毕达格拉斯的追随者们(公元前585-400)最先用比例把音乐和数学结合起来。他们发现在乐声的协调与所认识的整数之间有着密切的关系，拨动一根弦发出的声音依赖于弦的长度。他们还发现协和音是由长度与原弦长的比为整数比的绷紧的弦给出。事实上被拨动弦的每一种和谐的结合，都能表示为整数比。由增大成整数比的弦的长度，能够产生全部的音阶。例如，从一根产生音C的弦开始，接着C的16/15给出B,C的长度的6/5给出A,C的4/3给出G,C的3/2给出F,C的8/5给出E,C的16/9给出D,C的1/2给出低音C.

　你可能感到惊奇，为什么平台钢琴有它特有的形状？实际上很多乐器的形状和结构都跟不同的数学概念联系着。指数函数就是其一。例如y=2x.乐器，无论是弦乐还是管乐，在他们的结构中都反映出指数曲线的形状。

　对乐声本质的研究，在19世纪法国数学家傅立叶的著作中达到了顶峰。他证明了所有的乐声--不管是器乐还是声乐都能用数学表达式来描述，它们是一些简单的正弦周期函数的和。每种声音都有三种品质：音调、音量和音色，并以此与其他的乐声相区别。

　傅立叶的发现，使人们可以将声音的三种品质通过图解加以描述并区分。音调与曲线的频率有关，音量与曲线的振幅有关，音色则与周期函数的形状有关。

　很少有人既通晓数学又通晓音乐，这使得把计算机用于合成音乐及乐器设计等方面难于成功。数学的发现：周期函数，是现代乐器设计和计算机音响设计的精髓。许多乐器的制造都是把它们产生的声音的图像，与这些乐器理想声音的图像相比较然后加以改进的。电子音乐的忠实再生也是跟周期图像紧密联系着的。音乐家和数学家们将在音乐的产生和再生方面，继续担任着同等重要的角色。

探究活动

　是否存在满足 的实数 、 ，使 的值是不随 变化的常数．

　解：整理得： ， 为常数的从要条件是：

　 解得 ， ．

　所以在 的实数 、 存在．

习题精选

(三)教学过程

　1．设置情境

　师：上节课，我们学习了如何由 的图像通过变换得到 和 的图像，请同学复述一下变换的具体过程．

　生：将 的图像通过振幅变换便得到 的图像

　将 的图像通过周期变换就得到 的图像

　师：今天这节课，我们将继续学习如何由 的图像通过变换手段分别得到 及 的图像，(板书课题：函数 和 的图像)

　2．探索研究

　(1)如何由 的图像通过变换得到 的图像

　[例1]画出函数 ， ， ， 的简图

　师：由上一节画余弦函数的图像可知，函数 ， 的图像可以看做把正弦曲线上所有的点向左平行移动 个单位长度而得到．

　同学们能否用类比的方法由 的图像得到 和 的图像．

　生：从 的图像向左平移 个单位长度而得到 ，即 的图像得到启发，我们只要把正弦曲线上所有的点向左平行移动 个单位长度，就可以得到 的图像，如把正弦曲线上所有的点向右平移 个单位长度，就可以得到 的图像．

　函数　 ，

　　　 ，

　　　 ，

　在一个周期内的图像如图1所示：(用叠放投影胶片，依次叠放三个函数图像)

　师：我们已经学过并且知道 与 图像是一种左、右平移关系，从例1中你能得到 与 的图像之间的联系吗？

　生：函数 ， (其中 )的图像可以看做把 的图像上所有的点向左(当 时)或向右(当 时)平行移动 个单位长度而得到的，这种变换叫做平移变换．

　(2)如何由 的图像通过变换得到 的图像

　[例2]画出函数 ， 的简图．

　解：函数 的周期 ，我们先画出它的长度为一个周期的闭区间上的简图．

列表

	0
	0	3	0	－3	0

　描点，连线得图2

　利用函数的周期性，我们可以把它在 上的简图向左、右分别扩展，从而得到它的简图．(用依次叠放投影片的方法投影展示上图)

　师：函数 ， 的图像，可以看作用下面的方法得到：先将 上所有的点向左平移 个单位长度，得到函数 ， 的图像；再把后者所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，得到函数 ， 的图像；再把所得到图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，从而得到函数 ， 的图像．

　师：我们已经知道函数 与 是一种延 轴方向上的伸缩变换，从例2中你能得到 与 的图像之间的联系吗？

　生：函数 ， (其中 ， )的图像，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点向左(当 时)或向右(当 时)平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当 时)或伸长(当 时)到原来的 倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当 时)或缩短(当 时)到原来的 倍(横坐标不变)．

　我们小结一下上述步骤如下：

　师：其步骤流程图如下：

　这一过程体现了由简单到复杂，特殊到一般的化归思想．

　函数 ， (其中 ， )的简图，可以用类似方法画出．

　(3) 、 、 的物理意义

　当函数 ， (其中 ， )表示一个振动量时， 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅．

　往复振动一次所需要的时间 ，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数 称为振动的频率．

　 称为相位； 时的相位 称为初相．

　3．演练反馈(投影)

　(1)要得到函数 图像，只需将 的图像(　　　 )

　A．向右平移　B．向左平移　C．向右平移　D．向左平移

　(2)函数 的一个周期内图像如图3．

　则 的表达式　

　A．

　B．

　C．

　D．

　(3)把函数 的图像向左平移 个单位，再把图像上各点的横坐标压缩为原来的 ，所得的解析式为_________．

参考答案：

　(1)C．把 右移 ，得

　(2)D．因为 ，又 与 比较知，是其左移 而得，即

　(3)变换过程如下：第一步得：

　　　　　　第二步得：

　4．总结提炼

　(1)了解三角函数图像的变化规律和方法，由 ，此步骤只是平移( ，左移 个单位； ，右移 个单位)，而由 可由二条思路：

　① 即先平移后压缩．

　② 即先压缩再平移．

　不论哪一条路径，每一次变换都是对一个字母 而言的，如， 的图像向右平移 个单位，得到的应是 ，而不是 ；又 的图像横坐标扩大到原来的2倍，应是 而不是 ．

　(2)作函数图像的方法有多种，如描点法，五点作图法，根据奇、偶利用对称法等等，平移、变换法只是诸多作图法中一种，它与五点作图法同样重要，希望大家多练习，掌握变换次序上的技巧．

(二)教学目标

　1．掌握由 的变化过程，理解由 到 的变换步骤．

　2．利用平移、伸缩变换方法，作函数 图像．

(四)板书设计

1．函数 与 的图像的联系 例1 联系 2．函数 与 的图像的联系

例2 联系 小结：演练反馈 总结提炼

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教学设计示例二

(三)教学过程

　1．设置情境

　函数 ( 、 、 是常数)广泛应用于物理和工程技术上、例如，物体作简谐振动时，位移 与时间 的关系，交流电中电流强度 与时间 的关系等，都可用这类函数来表示．我们知道，图像是函数的最直观的模型，如何作出这类函数的图像呢？下面我们先从函数 与 的简图的作法学起．(板书课题)-函数 与 的图像．

　2．探索研究

　(可借助多媒体)

　(1)函数 与 的图像的联系

　[例1]画出函数 及 ( )的简图．

　解：函数 及 的周期均为 ，我们先作 上的简图．

　列表并描点作图(图1)

	0
	0	1	0	－1	0
	0	2	0	－2	0
	0		0		0

　利用这两个函数的周期性，我们可以把它们在 上的简图向左、右分别扩展，从而得到它们的简图．

　 的图像与 的图像之间有何联系？请一位同学说出 的值域和最值．

　生： 的图像可以看做是把 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到的． ， 的值域是 ，最大值是2，最小值是－2．

　师： 的图像与 的图像有何联系？并请你说出 的值域和最值．

　生： 的图像可以看做是把 的图像上所有点的纵坐标缩短到原来的 倍，(横坐标不变)而得到的， ， 的值域是 ，最大值是 ，最小值是 ．

　师：由例1中 、 与 的图像的联系，我们来探求函数 ( 且 )的图像与 的图像之间的联系．

　函数 ( 且 )的图像可以看做是把 的图像上所有点的纵坐标伸长(当 时)或缩短(当 )到原来的 倍(横坐标不变)而得到，这种变换称为振幅变换，它是由 的变化而引起的， 叫做函数 的振幅． ， 的值域是 ，最大值是 ，最小值是 ．

　(2)函数 与 的图像的联系

　[例2]作函数 及 的简图．

　解：函数 的周期 ，因此，我们先来作 时函数的简图．

　列表：

	0
	0
	0	1	0	－1	0

　函数 的周期 ，因此，我们先作 时函数的简图．

　列表：

	0
	0
	0	1	0	－1	0

　描点作图(图2)

　师：利用函数的周期性，我们可将上面的简图向左、右扩展，得出 ， 及 ， 的简图．

　请同学们观察函数 与 的图像间的联系及 与 的图像间的联系．

　生：在函数 ， 的图像上，横坐标为 ( )的点的纵坐标同 上横坐标为 的点的纵坐标相等，因此 的图像可以看做是把 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的．

　同样， 的图像可以看做把 的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)而得到的．

　师：由例2中， 、 与 的图像的联系，请你探求函数 ( 且 )的图像与 之间在联系．

　生：函数 ( 且 )的图像，可以看做是把 的图像上所有点的横坐标缩短(当 时)或伸长(当 时)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的．这种变换称为周期变换，它是由 的变化而引起的， 与周期 的关系为 ．

　3．演练反馈(投影)

　1．画出下列函数在长为一周期的闭区间上的简图

　(1) 　 　　　　(2)

　2．函数 ， 的周期是什么？它的图像与正弦曲线有什么联系．

　3．说明如何由 ；由

参考答案：

　1．

　2．周期是 ，把 的图像上每个点的横坐标伸长 倍(纵坐标不变)即得 的图像．

　3． 的图像沿 轴方向压缩 得 的图像(纵坐标不变)；把 的图像上纵坐标缩短 倍(横坐标不变)，即得 的图像．

　4．总结提炼

　(1)用“五点法”作 或 的简图时，先要确定周期，再将周期四等份，找出五个关键点：0， ， ， ， ，然后再列表、描点、作光滑曲线连接五个点．

　(2) 的图像可以看做是把正弦曲线 图像经过振幅变换而得到．

　(3)函数 的图像可以看作是把 实施周期变换而得．

　(4)作图时，要注意坐标轴刻度， 轴是实数轴，角一律用弧度制．

(二)教学目标

　掌握由

(一)教学具准备

　直尺、投影仪．

17．要使函数有定义，就必须有：

　∴

　∴

　∴ 或 ， ．

　故函数的定义域是 ．

　18．由题设知 ∴ ∴ 即 ．

　故当 时，该函数有最大值 ；

　当 时该函数有最小值为 ．∴所求函数的值域为［1，9］．

　19．令 ， ，则 ，

　而函数 在 上是增函数．

　∴当 ，即 时， 取最大值为1，此时 ， ．

　20．由 得 ．又 ，∴ ，

　即 ，即 ．

　21．(1)这是由 ， 复合而成的函数．

　它的定义域应满足： ，即 ， ， ( )，

　故定义域为 ．

　又 ，∴ ，

　根据 ， 是减函数，∴ ，故函数值域为 ．

　(2) ，它的图像是由 的图像向右平移 而得到的，而 的单调递增区间是 ( )，递减区间是 ( )，

　所以 的单调递增区间是 ( )，

　递减区间是 ( )，又因为 ， 是减函数，所以原函数的单

递减区间是 ，

　递减区间是 ( )，(注意 时， ，所以应将此值舍去)．

　(3)由于定义域不关于原点对称，所以此函数既不是奇函数，也不是偶函数．

　(4)由于 的周期为 (根据其图像判断)，故原函数的周期为 ．

4.9函数y=Asin(ωχ+φ)的图象

教学目标

　1.会用“五点法”画函数y=Asin(ωx+ψ)的简图，理解A、ω、ψ的物理意义；

　2.掌握由函数y=sinx图像到函数y=Asin(ωx+ψ)的图像变换过程；

　3.通过图像变换的学习，培养学生掌握从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃；又从一般到特殊，从抽象到具体的辩证思维方法.

教学建议

知识结构：

重点与难点分析：

　本节重点是用“五点法”画函数 的简图，以及由函数 的图像得到函数 图像的变换过程．“五点法”作图在对图像要求不精确时经常用到，是数形结合中画图常用的方法．图像变换体现了数学的由简单到复杂的转化，由特殊到一般的化归思想，要掌握三角函数的图像变换，关键理解A、 、 对图像变换所起的作用．

　本节难点是当 时，函数 ， 的图像间的关系．学生在这里经常出错，教学中要帮学生尽量克服这一难点．首先要学生理解A、 、 三个参数的名称、在变换过程中的作用，函数 的图像如何通过 逐步变换得到的，A、 、 三个参数对于图像有什么样的影响．变换的顺序不同 、 变换的数据可能就不相同，让学生理解所的变换均是针对x而言的，关键是看x是如何变化的．

教法建议：

　1．本节的主要内容是“五点法”画函数 的图像，以及由函数 图像到函数 的图像的变换过程．首先让学生理解由函数 的图像分别到函数 ， ， 图像，是如何变换得到的以及参数 、 、 分别对变换图像影响．讲解过程中一定要结合图像，让学生掌握变换的思路．讲解后配上适当的练习进一步熟悉变换过程．每个例题讲解图象变换的目的，在于揭示各种正弦函数图象的内在联系，而并不要求用图象变换来作图，而是为 图像的变换奠定基础．

　2．由函数 图像变换到函数 的图像过程中，变换的顺序不同可能变换的量不相同，例如先变相位，再变周期，与先变周期．再变相位，相位变换的量不同，函数 的图像可由函数 的图像上所有点向左平_，再将所得各点的横坐标缩短到原来的 ；也可先将函数 的图像上各点的横坐标缩短到原来的 ，再将所得各点向左平移．这一不同学生很难理解，学生很容易出错，也是经常考查内容．首先给学生说明对于 中的 、 均是针对x而言的，因此在变换的过程关键就看x变换了多少，其它因素暂时不考虑．可以借助多媒体课件讲解，能起到更好的效果．　

　3．画函数 的简图，主要还是先找出确定曲线形状时起关键作用的五个点．要强调一下：这五个点应该是使函数取得最大值、最小值以及曲线与 轴相交的点；找出它们的方法是换元法，设 ，由X取0， ， ， ， 来确定对应 的值．在每道例题中讲图象变化的目的，在于揭示函数 的图象与正弦曲线的关系，而不是要求按图象变化规律来画图，这样可以借助函数 的性质研究函数 的性质．

　4．由于函数 的图象在物理和工程技术的很多问题中应用都很多，所以，在引入函数 的图象时，就可以从物理中的一些实际问题出发，即结合了实际，又体现了学以致用的思想，特别是对 、 、 物理意义的理解。比如可以举物体作简谐振动时位移s与时间t的关系。 

教学设计示例

4.9　 函数 的图像

第一课时

15． 　　 16． ，

13． 　 14． ．