2．下列叙述中正确的个数为(　 )

　①作正弦、余弦函数图像时，单位圆的半径长与x轴上的单位可以不一致。

　② 的图像关于点 成中心对称图形。

　③ 的图像关于直线 成轴对称图形。

　④正弦、余弦函数 的图像不超出两直线 所夹的范围。

　A．1　B．2　C．3　D．4

1．函数 的大致图像是(　 )

(四)板书设计

课题 1．周期函数定义 两点注意： 思考问题① ② 2．最小正周期定义 例1

例2 的周期 的周期 练习反馈 总结提炼

　思考题：设 是定义在 上的以2为周期的周期函数，且是偶函数，当 时， ，求 上的表达式

　参考答案：

典型例题

　例1．求函数 的定义域．

　分析：要求 ，即 ，因为正弦函数具有周期性，所以只需先根据正弦曲线在一个周期上找出适合条件区间，然后两边加 ．

　解：由题意 ，

　即　 ．

　在一周期 上符合条件的角为 ，

　∴定义域为 ．

　小结：解题时注意结合正弦曲线，而由于正弦函数的周期性，只需先在一个周期上求范围，这个周期的长度为 ，并非一定取 ，而应该是否得到一个完整区间为标准，如本题若在 上求范围则分为两段 和 ，不如在 上是完整的一段．

　例2．求函数 的定义域。

　分析：上述函数从形式上看是一个较为复杂的复合函数，它是由三角函数、二次函数、对数函数复合而成。求定义域时，应分清脉络，逐一分析，综合得出结论。

　解：欲求函数定义域，则由

　即 也即

　解得

　取 、0、1，可分别得到

　 或 或 。

　即所求的定义域为 。

　小结：在解本题时，容易出现的失误是，由 ，得 或 ；或在解不等式组 时出现错误，如得出函数的定义域为 或 等。

　解类似本例的问题，其关键在于求出两个或更多个不等式的公共解。而求公共解，如能借助于图形，由数形结合，往往可以事半功倍。具体方法一般可借助于数轴、单位圆或三角函数的图像来完成。如图甲、乙所示。

　例3．求下列函数的值域：

　(1) ；　(2) ；

　(3) ；　(4) ．

　分析：(1)先利用降幂公式，将其化为一个角的一个三角函数式，再根据三角函数性质求其值域；(2)可利用降幂公式，倍角公式，差角公式，化为一个角的一个三角函数其值域；(3)利用配方法，并结合二次函数、正弦函数的性质求解；(4)从反函数观点出发，借助于余弦函数的有界性求解．

　解：(1) ．

　∵ ，∴ ．

　将其利用降幂公式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用三角函数的性质求值域．

　(2)

　　　

　　　

　∵ ，

　∴ ．

　利用了降幂公式和倍角公式，将其化为一个角的一个三角函数的形式．

　(3) ．

　将其看做关于 的二次函数，注意到 ，

　∴当 时， ．

　　当 时， ，

　∴ ．

　本题结合了二次函数求极值，但应注意 的取值范围．

　(4)由原式得 ．

　∵ ，∴ ．

　∴ 或 ．

　值域为 ．

　小结： 配方法、化一法、逆求法、有界性法等，是求三角函数值域常用的几种方法．相信你会从此题的求解过程中，领悟到这一点．

　例4．求函数 的单调减区间．

　分析：容易想到将函数转化为 ，换元令 ，进而转化为 ．

　解： ．

　令 ，则 ．

　由正弦函数的单调性，知

　当 ( )时，函数递减，

　即　 ( )，

　∴ ( )．

　∴函数的单调减区间是 ( )．

　小结：本题通过换元，将函数 化为 ，充分体现了转化的数学思想．

　例5．作函数 的图像。

　分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作函数的图像。

　解：当 ，即 时，有 ，即 。其图像如图，

　小结：函数 的图像即是 的图像，因此作出 的图像后，要把 的这些点去掉。

　例6．已知 ，(a、b为常数)，且 ，求 。

　分析：要求函数值，需知函数解析式，因含a、b两个参数，一个条件 难确定。深入分析 与 的内在联系，应向函数奇偶性联想。注意到 为奇函数，问题自可获解。

　解：因为 ，所以 为奇函数，所以 ，

　所以 。

　小结：(1)判断函数奇偶性时应注意“定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件”的应用。

　(2)函数奇偶性的确定，可使研究问题的条件增加，从而使问题难度变小，尤其是自变量互为相反数时的函数值关系问题，可考虑奇偶性的应用。

扩展资料

一剪刀剪出一条正弦曲线

　把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈．用剪刀斜着将纸筒剪断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线．

　你知道吗？这条曲线就是正弦曲线！下面就来证明这一事实．

　如图1，设纸筒底面半径为1单位长，截面(椭圆面)与底面所成的二面角为 (定值)，截口的中心为 ．

　过 作圆柱的直截面，交截口曲线于两点．取其中一点为 ，在过点 且与圆柱侧面相切的平面内，以点 为坐标原点建立直角坐标系，使得 轴是圆柱的一条母线．

　设点 是截口曲线上任意一点，点 是点 在⊙ 所在平面内的射影，过 作 ，垂足为 ，连接 ，则 是截面与底面所成二面角的平面角，所以， ，又设 (变量)．

　在图2中，设 点坐标为 ，以下分别计算 点的横坐标和纵坐标．

　 ， ，　　　 ①

　而在 △ 中， ，所以

　　 　　　　　　nbsp;　　　②

　将①代入②，且令 (定值)，则有

　这就证明了截口曲线是一条正弦曲线．

(原载《数学通讯》2000年第10期 王方汉 文)

探究活动

　试问方程 是否有实数解？若有，请求出实数解的个数；若没有，请说明理由．

　分析：可借助函数 和 的图像，通过判断图像是否有交点来判定方程是否有实数解．如有交点，可通过讨论交点数来获得实数解的个数．

　解：设 ，因为 ，且 的定义域为R，所以 是奇函数，且 ，所以 是 =0的一个解，于是 =0的实数解存在且除 外是成对出现的．在 上研究 和 图像交点的情况(参考图)

　因为 ，且 是增函数，而 ，所以当x≥100时，方程 =0无解．

　又 ，从图像中可得知直线 与曲线 在 中从0开始每相隔 会有两个交点，所以，当x≥0时共有32个交点，则当x>0时有31 个交点．

　故原方程有31×2+1=63个解．

习题精选

(三)教学过程

　1．设置情境

　自然界里存在着许多周而复始的现象，如地球的自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动、圆周运动等．数学里从正弦函数、余弦函数的定义可知，角 的终边每转一周又会与原来的位置重合，故 ， 的值也具有周而复始的变化规律．为定量描述这种周而复始的变化规律，今天，我们来学习一个新的数学概念--函数的周期性(板书课题)

　2．探索研究

　(1)周期函数的定义

　引导学生观察下列图表及正弦曲线

					0
	0	1	0	－1	0	1	0	－1	0

　正弦函数值当自变量增加或减少一定的值时，函数值就重复出现．

　联想诱导公式 ，若令 则 ，由这个例子，我们可以归纳出周期函数的定义：

　对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的每一个值时，都有 ，那么函数 叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的周期．

　如 ， ，…及 ， …都是正弦函数的周期．

　注意：周期函数定义中 有两点须重视，一是 是常数且不为零；二是等式必须对定义域中的每一个值时都成立．

　师：请同学们思考下列问题：①对于函数 ， 有 能否说 是正弦函数 的周期．

　生：不能说 是正弦函数 的周期，这个等式虽成立，但不是对定义域的每一个值都使等式 成立，所以不符合周期函数的定义．

　② 是周期函数吗？为什么

　生：若是周期函数，则有非零常数 ，使 ，即 ，化简得 ，∴ (不非零)，或 (不是常数)，故满足非零常数 不存在，因而 不是周期函数．

　思考题：若 为 的周期，则对于非零整数 ， 也是 的周期．(课外思考)

　(2)最小正周期的定义

　师：我们知道…， ， ， ， …都是正弦函数的周期，可以证明 ( 且 )是 的周期，其中 是 的最小正周期．

　一般地，对于一个周期函数 ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期．

　今后若涉及的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期．

　依据定义， 和 的最小正周期为 ．

　(3)例题分析

　[例1]求下列函数的周期：

　(1) ， ；　(2) ， ；

　(3) ， ．

　分析：由周期函数的定义，即找非零常数 ，使 ．

　解：(1)因为余弦函数的周期是 ，所以自变量 只要并且至少要增加到 ，余弦函数的值才能重复取得，函数 ， 的值也才能重复取得，从而函数 ， 的周期是 ．

即 ，∴

　(2)令 ，那么 必须并且只需 ，且函数 ， 的周期是 ，就是说，变量 只要并且至少要增加到 ，函数 ， 的值才能重复取得，而 所以自变量 只要并且至少要增加到 ，函数值就能重复取得，从而函数 ， 的周期是 ．

　即　

　∴

　(3)令 ，那么 必须并且只需 ，且函数 ， 的周期是 ，由于 ，所以自变量 只要并且至少要增加到 ，函数值才能重复取得，即 是能使等式 成立的最小正数，从而函数 ， 的周期是 ．

　而

　∴

　师：从上例可以看出，这些函数的周期仅与自变量 的系数有关，其规律如何？你能否求出函数 ， 及函数 ， (其中 ， ， 为常数，且 ， )的周期？

　生：

　∴ ．

　同理可求得 的周期 ．

　[例2]求证：

　(1) 的周期为 ；

　(2) 的周期为 ；

　(3) 的周期为 ．

　分析：依据周期函数定义 证明．

　证明：(1)

　　　　　　

　　　　　　

　∴ 的周期为 ．

　(2)

　　　　　

　∴ 的周期为 ．

　(3)

　　　　　

　∴ 的周期为 ．

　3．演练反馈(投影)

　(1)函数 的最小正周期为(　　　 )

　A．　B．　C．　D．

　(2) 的周期是_________

　(3)求 的最小正周期．

参考答案：

　(1)C；(2) 　 ∴

　(3)欲求 的周期，一般是把三角函数 化成易求周期的函数 或 的形式，然后用公式 求最小正周期，而化得的一般思路是“多个化一个，高次化一次”，将所给函数化成单角单函数．

　由

　

　4．总结提炼

　(1)三角函数所特有的性质是周期性，周期与最小正周期是不同概念，研究三角函数的周期时，如未特别声明，一般是指它的最小正周期．

　(2)设 ， ．若 为 的周期，则必有：① 为无限集，② ；③ 在 上恒成立．

　(3)只有 或 型的三角函数周期才可用公式 ，不具有此形式，不能套用．如 ，就不能说它的周期为 ．

(二)教学目标

　1．理解 ， 的周期性概念，会求周期．

　2．初步掌握用定义证明 的周期为 的一般格式．

(一)教学具准备

　直尺、投影仪．

(五)板书设计

1．定义域 2．值域 3．最值 4．正负区间 5．零点 例1

例2 例3 课堂练习

　课后思考题：求函数 的最大值和最小值及取最值时的 集合

　提示：

教学设计示例

4.8　 正弦函数、余弦函数的图像和性质(第三课时)

(三)教学过程

　1．设置情境

　研究函数就是要讨论一些性质， ， 是函数，我们当然也要探讨它的一些属性．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数的最基本的两条性质．

　2．探索研究

　师：同学们回想一下，研究一个函数常要研究它的哪些性质？

　生：定义域、值域，单调性、奇偶性、等等．

　师：很好，今天我们就来探索 ， 两条最基本的性质--定义域、值域．(板书课题正、余弦函数的定义域、值域．)

　师：请同学看投影，大家仔细观察一下正弦、余弦曲线的图像．

　师：请同学思考以下几个问题：

　(1)正弦、余弦函数的定义域是什么？

　(2)正弦、余弦函数的值域是什么？

　(3)他们最值情况如何？

　(4)他们的正负值区间如何分？

　(5) 的解集如何？

　师生一起归纳得出：

　(1)正弦函数、余弦函数的定义域都是 ．

　(2)正弦函数、余弦函数的值域都是 即 ， ，称为正弦函数、余弦函数的有界性．

　(3)取最大值、最小值情况：

　正弦函数 ，当 时，( )函数值 取最大值1，当 时，( )函数值 取最小值－1．

　余弦函数 ，当 ，( )时，函数值 取最大值1，当 ，( )时，函数值 取最小值－1．

　(4)正负值区间：

　　　　　　

　　　　　　

　　　　　　 ( )

　(5)零点： ( )

　　　　 ( )

　3．例题分析

　[例1]求下列函数的定义域、值域：

　(1) ；　(2) ；　(3) ．

　解：(1) ，

　(2)由 ( )

　又∵ ，∴

　∴定义域为 ( )，值域为 ．

　(3)由 ( )，又由

　∴

　∴定义域为 ( )，值域为 ．

　指出：求值域应注意用到 或 有界性的条件．

　[例2]求下列函数的最大值，并求出最大值时 的集合：

　(1) ， ；　(2) ， ；

　(3) 　(4) ．

　解：(1)当 ，即 ( )时， 取得最大值

　∴函数的最大值为2，取最大值时 的集合为 ．

　(2)当 时，即 ( )时， 取得最大值 ．

　∴函数的最大值为1，取最大值时 的集合为 ．

　(3)若 ， ，此时函数为常数函数．

　若 时， ∴ 时，即 ( )时，函数取最大值 ，

　∴ 时函数的最大值为 ，取最大值时 的集合为 ．

　(4)若 ，则当 时，函数取得最大值 ．

　若 ，则 ，此时函数为常数函数．

　若 ，当 时，函数取得最大值 ．

　∴当 时，函数取得最大值 ，取得最大值时 的集合为 ；当 时，函数取得最大值 ，取得最大值时 的集合为 ，当 时，函数无最大值．

　指出：对于含参数的最大值或最小值问题，要对 或 的系数进行讨论．

　思考：此例若改为求最小值，结果如何？

　[例3]要使下列各式有意义应满足什么条件？

　(1) ；　(2) ．

　解：(1)由 ，

　∴当 时，式子有意义．

　(2)由 ，即

　∴当 时，式子有意义．

　4．演练反馈(投影)

　(1)函数 ， 的简图是(　　　 )

　(2)函数 的最大值和最小值分别为(　　 )

　A．2，－2　　　 B．4，0　　　　 C．2，0　　　　 D．4，－4

　(3)函数 的最小值是(　　 )

　A． 　 　　　B．－2　　　　　 C． 　　　　　 D．

　(4)如果 与 同时有意义，则 的取值范围应为(　　 )

　A． 　　　 B． 　　　 C． 　　　 D． 或

　(5) 与 都是增函数的区间是(　　　 )

　A． ， 　　　　　　　 B． ，

　C． ， 　　　　　 D． ，

　(6)函数 的定义域________，值域________， 时 的集合为_________．

参考答案：1．B　 2．B　 3．A　 4．C　 5．D　

6． ； ；

5．总结提炼

　(1) ， 的定义域均为 ．

　(2) 、 的值域都是

　(3)有界性： 　

　(4)最大值或最小值都存在，且取得极值的 集合为无限集．

　(5)正负敬意及零点，从图上一目了然．

　(6)单调区间也可以从图上看出．

(二)教学目标

　1．掌握 ， 的定义域、值域、最值、单调区间．

　2．会求含有 、 的三角式的定义域．

(一)教学具准备

　直尺，投影仪．