(三)教学过程 1．设置情境 　师：我们已经学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，请大家回忆一下这组公式的来龙去脉，并请一个同学把这六个公式写在黑板上， 　生： 　　 　　 　　 　师：很好，对于这些公式大家一方面要从公式的推导上去理解它，另一方面要从公式的结构特点上去记忆，还要注意公式的正用、逆用和变用．今天，我们继续学习二倍角的正弦、余弦和正切公式 2．探索研究 　师：请大家想一想，在公式 、 、 中对 、 如何合理赋值，才能出现 、 、 的表达式，并请同学把对应的等式写在黑板上． 　生：可在 、 、 中，令 ，就能出现 、 、 ，对应表达式为： 　　 　　 　　 　即： 　　 　　 　师：很好，看来本节课的主要任务，已经被大家轻松完成了．对于公式 ，我们似乎要注意些什么？大家想一想要关注什么？ 　生：要使 有意义及 ， 有意义． 　师： 有意义即 ， ． 　 ，即 ，也就是 ，可变为 ． 　要使 有意义，则须 ． 　综合起来就是 ，且 ， ．当 时，虽然 的值不存在，但 的值是存在的，这时求 的值可利用诱导公式，即 ． 　师：对于 ，还有没有其他的形式？ 　生：有(板书) 　∵ 　 ∴ 或 　∴ 　师：(板书三个公式，并告诉学生公式记号分别为 、 、 )对二倍角公式大家要注意以下问题．(1)用 和 表示 、 ，用 表示 ，即用单角的三角函数表示复角的三角函数．(2) 有三种形式， 是有条件的． 3．例题分析 　[例1]已知 ， ．求 ， ， 的值． 　解：因为 ， ．所以 　　于是 　　　 　　　 　说明：本题也可按下列程序来做，请大家比较方法之优劣． 　∵ ， 　∴ ，且 ， 　 　　　 　　　 　　 　　

[例2]不查表求值： 　(1) ；　(2) ； 　(3) ；　　　(4) ． 解：(1) 　　　　　　　

　(2) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　

　(3) 　(4) 　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 　说明：逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式原形以便合理运用公式．

[例3] 求证： 　引导学生观察式子两边的结构，提出证题的方向． 　生：左边都是单角的三角函数，右边是二倍角．又因左边比右边明显复杂得多，所以应由左边证向右边，注意把单角的三角函数变为二倍角． 　师：(板书) 证明：左边 　　　 　　　 　　　 右边 所以原式成立

[例4]化简： ． 　师：这道题给我们的感觉是有些无从下手，很难看出有什么公式可以直接使用．两个角 与 似乎还有一线希望，但由于受函数名称限制难以发挥它的作用，大家都来想想看，有什么办法可以打破这一僵局(请同学们讨论)？ 　生：在同角三角函数的化简中，如果一个式子有弦、有切，我们可以把切化成弦． 　师：好的，我们来尝试(板书) 　解： 　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 　说明：本题在尝试把正切化为弦(正、余弦)后果然获得成功，其实把正切化为弦就是一条重要思想，请同学们切记“遇切、割化弦”这一规律．另外本题的解答过程还反映了逆用和角公式的重要性．希望大家一并记下．

练习(投影)

(1)化简 (2) (3)若 ，则 答案：(1) ；(2) ；(3)8

4．总结提炼

　(1)在两角和的三角函数公式 、 、 中，当 时，就可以得到二倍角的三角函数公式 、 、 ，说明后者是前者的特例． 　(2) 、 中角 没有限制条件，而 中，只有 和 时，才成立． 　(3)二倍角公式不仅限于 是 的二倍形式，其他如 是 的2倍， 是 的二倍， 是 的二倍等等都是适用的，要熟悉这些多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键． 　 有三种形式 ，要依据条件，灵活选用公式．另外，逆用此公式时，更要注意结构形式．

(二)教学目标 　1．掌握 、 、 公式的推导，明确 的取值范围． 　2．运用二倍角公式求三角函数值．

(一)教学具准备 　投影仪或多媒体设备

24．化简： ．

25．已知在△ 中， ，又 ，试判断△ 的形状．

26．化简： ．

27．已知： ， ，求 的值．

28．设 为实数，且点 ， 是二次函数 图像上的点，求函数 的最小值．

[答案与提示]

　1．C　2．B　3．A　4．C　5．B　6．B　7． 　8． 　9． 　10． 　11． ， ， ，提示： 　 12．－1　13． 　14． 　15．提示： 　16．D　17．D　18．D　19． 　 提示：消去角 　20． 　21．－3　 22．－6，提 示： ， 　23．－7，提示： 　24．0，提示： 　25．顶角为 的等腰三角形　26．－2　27． 或 　28． ，提示：由已知 ， 必为方程 的两根， ， ，故 ，又由△≥0 ，得 ，怕以 的最小值是 ．

4.7 二倍角的正弦、余弦、正切

教学目标

　1.掌握倍角公式的推导，从中体会数学的化归思想和数学规律发现的过程； 　2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明； 　3.通过综合运用公式，使学生掌握有关技巧，提高学生分析问题，解决问题的能力； 　4．通过以上公式的推导，了解半角公式间以及它们与和角公式之间的内在联系，从而培养学生的逻辑推理能力和辩证唯物主义观点.

教学建议

　1．倍角公式可以由学生根据和角公式直接推导出，在对 公式的推导中让学生完善角的范围限制．公式推出后，让学生将倍角和前面所学的和(差)角公式的联系图总结出来，使知识系统化．

　2．由学生讨论分析公式的特点．①公式中的角之间存在2倍关系，其中要强调倍角的相对性，打破学生习惯认为只有 ， 才具有2倍角关系，教学中通过一些简单实例加强这方面的训练，熟悉公式的正向、逆向运用，如 ， ， ， ， 等．②利用 求 只需要已知 即可，利用 求 时需要已知 ，观察 左侧的特点，可以与 建立联系，能否将公式变形？引导学生推导出 的两个变形公式，因此已知 中之一即可求出 ．③由单角变为倍角时式子的幂降升高，相反由倍角变为单角时式子的幂降低，在求解、化简或证明时要注意分析角之间、式子幂之间的关系，整理将形式统一． 　3．讲解例1时给学生指出或让学生归纳出：已知角 的某个三角函数值及其角所在的象限不仅可以求出 其余的三角函数值，还可求倍角的三角函数值． 　4．课本在例2的分析中给出将结论变形求解的方法，学生感觉方法巧妙的同时，还困惑理解方法如何想到的，给学生分析：证明三角等式一般要观察分析等式两边的联系区别，主要从角和函数名称入手，尽量将角和函数名称统一，此题左右两侧的角形式和函数名称都相同，分子中的角都是 4倍的、函数名称都是正弦、余弦，分母上都是单角而且函数名是正切，直接从左或右向另一侧证明有些困难，能否将结论适当的变形以便于求解？使学生了解整个题目分析的过程． 　5．解决本章开始所提的问题，是倍角公式的实际应用，利用三角函数线学生可以得到 ，得到本题的结论．另外还需要把题目中“半圆”的条件替换为“圆”，可以的得到正方形的性质：在一个圆的所有内接矩形中，内接正方形的面积为最大． 　6．例4、5是利用和(差)角、倍角公式推导出了半角公式、和差化积以及积化和差，这些公式不要求记忆，但要求学生在给出公式时会利用这些公式，掌握公式的推导过程．

教学设计示例(一)

二倍角的正弦、余弦、正切(第一课时)

23．已知 ， 是第二象限角，又 ，则 ．

22．已知 ，则 ．

21．若 ， 是方程 的两个根，则 ．

20．已知 ， 是第二象限角， ， 是第三象限角，则 ．

19．已知 ， ，则 ．

18．若 ， 是方程 的两个根，则 (　　　 )

　A． 　　　　B．

　C． 　D．