2.二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=2，则该二面角的大小为　　　　　　　　　 (　 C　 )

A.150°?　　　 B.45°? C.60°?　 　　 D.120°?　

1.已知两平面的法向量分别为m=(0，1，0)，n=(0，1，1)，则两平面所成的二面角为　　　 (　 C　 )　

A.45°?　　　　　　 B.135°　　　　　　　　 C.45°或135°　　　　　　　　　 D.90°?　

3.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( C )　

?A.x=1,y=1?　　　　 B.x=,y=-　?C.x=,y=-　　　 D.x=-,y=　

例1已知=(2，2，1)，=(4，5，3)，求平面ABC的单位法向量.

解：设面ABC的法向量n=(x，y，1)，则n⊥且n⊥，即n·=0，且n·=0，即　

∴n=(，－1，1)，单位法向量n₀=±=±(，－，).

例2 如图所示，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设=a，=b，=c，M，N，P分别是AA₁，BC，C₁D₁的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3)+.　

解　 (1)∵P是C₁D₁的中点，　

∴=++=a++　=a+c+=a+c+b.　

(2)∵N是BC的中点，∴=++=-a+b+=-a+b+=-a+b+c.　

(3)∵M是AA₁的中点，　∴=+=+=-a+(a+c+b)=a+b+c，　

又=+=+　=+=c+a，　∴+=(a+b+c)+(a+c)=a+b+c.例3　 已知分别是空间四边形ABCD的边的中点，(1)求证：四点共面；

　(2)求证：BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有.　证明　 (1)连接BG，则

由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面.　

(2)因为=

所以EH∥BD.　又EH平面EFGH，BD平面EFGH，　所以BD∥平面EFGH.　

(3)连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由(2)知=，　同理=，　

所以=，即EH　 FG，　所以四边形EFGH是平行四边形.所以EG，FH交于一点M且被M平分.　　

故===.　

例4 (1)求与向量a=(2,-1,2)共线且满足方程a·x=-18的向量x的坐标；　

(2)已知A、B、C三点坐标分别为(2，-1，2)、(4，5，-1)、(-2，2，3)，求点P的坐标使得=(-)；

(3)已知a=(3，5，-4)，b=(2，1，8)，求：　①a·b；②a与b夹角的余弦值；③确定，的值使得a+b与z轴垂直，且(a+b)·(a+b)=53.　

解　 (1)∵x与a共线，故可设x=ka，　由a·x=-18得　

a·ka=k|a|²=k()²=9k，∴9k=-18，故k=-2.∴x=-2a=(-4，2，-4).　

(2)设P(x，y，z)，则=(x-2，y+1，z-2)，　=(2，6，-3)，=(-4，3，1)，　

∵=(-).∴(x-2，y+1，z-2)=［(2，6，-3)-(-4，3，1)］　=(6，3，-4)=(3，，-2)　∴解得∴P点坐标为(5，，0).　

(3)①a·b=(3，5，-4)·(2，1，8)=3×2+5×1-4×8=-21.　

②∵|a|=,|b|=,　

∴cos〈a,b〉=∴a与b夹角的余弦值为　

③取z轴上的单位向量n=(0，0，1)，a+b=(5，6，4).依题意

　即

故解得　

2.下列命题中是真命题的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( D　　 )　A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量　

?B.若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反　C.若向量，满足||＞||，且与同向，则＞　?D.若两个非零向量与满足+=0，则∥　

1.有4个命题：①若p=xa+yb，则p与a、b共面；　②若p与a、b共面，则p=xa+yb；　③若=x+y，则P、M、A、B共面；　④若P、M、A、B共面，则=x+y.　其中真命题的个数是　　　　　　 (　 B　 )　

?A.1?　　　　　　　 B.2?　　　　　　　　　 C.3?　　　　　　　　 D.4　

7.若表示向量a₁，a₂，…，a_n的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形，则a₁+a₂+a₃+…+a_n=0.

基础自测

6. 模长公式：，

5.空间向量的直角坐标运算律：

则;

， ，．

4.向量的数量积：，，；，，

3.空间向量的基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任意一向量，存在惟一有序实数对x、y、z使得=.

推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的三个有序实数x、y、z使=x+。特别地，当x+y+z=1时，则必有P、A、B、C四点共面.