22.(2009-2010学年度扬州市第一学期期末高考模拟)已知函数，，，其中，且.⑴当时，求函数的最大值；⑵求函数的单调区间；

⑶设函数若对任意给定的非零实数，存在非零实数()，使得成立，求实数的取值范围.

解：⑴当时， ∴

令，则， ∴在上单调递增，在上单调递减

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　 ----------------------------4分

⑵，，()

∴当时，，∴函数的增区间为，

当时，，

当时，，函数是减函数；

当时，，函数是增函数。

综上得，

当时，的增区间为；　

当时，的增区间为，减区间为 ----------10分　　　　　　　　　　　　　　　　　　

⑶当，在上是减函数，此时的取值集合；

当时，，

若时，在上是增函数，此时的取值集合；

若时，在上是减函数，此时的取值集合。

对任意给定的非零实数，

①当时，∵在上是减函数，则在上不存在实数()，使得，则，要在上存在非零实数()，使得成立，必定有，∴；

②当时，在时是单调函数，则，要在上存在非零实数()，使得成立，必定有，∴。

综上得，实数的取值范围为。　　　　　　　　　　　　 -------------------16分

21.(绵阳市高中2010级第二次诊断性考试)设数列{a_n}的各项均为正数，它的前n项和为S_n(n∈N*)，已知点(a_n，4S_n)在函数f　(x)=x²+2x+1的图象上．

(1)证明{a_n}是等差数列，并求a_n；

(2)设m、k、p∈N*，m+p=2k，求证：+≥；

(3)对于(2)中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由。www..co

解：(1)∵ ，

∴ 　(n≥2)．

两式相减得．

整理得 ，

∵ ，

∴ (常数)．

∴ {a_n}是以2为公差的等差数列．

又，即，解得，

∴ a_n=1+(n-1)×2=2n-1．………………………………………………………4分

(2)由(1)知，∴ S_m=m²，S_p=p²，S_k=k²．

由

≥≥=0，

即≥．………………………………………………………………7分

(3)结论成立，证明如下：

设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，则，高@考#资$源@网

∵

，

把代入上式化简得

=≥0，

∴ S_m+S_p≥2S_k．

又=

≤

，

∴ ≥．

故原不等式得证．………………………………………………………………14分

20.(2010年浙江省杭州市第一次高考科目教学质量检测)已知函数满足，且方程f(x) = x有且仅有一个实数根．

(Ⅰ)求函数的解析式；

(Ⅱ)设数列满足.求数列的通项公式；

(Ⅲ)定义对于(Ⅱ)中的数列，令 设为数列的前项和,求证：.

(Ⅰ)由，得；又有且仅有一个解,即有唯一解满足.

当时，，则，此时

又当时，，因为，

所以，则，此时

综上所述，或者；　　　　　　　　　　　　　　　 4分

(Ⅱ) ，当时，，不合题意，

则，则，　 4分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，

则，所以　　　　　　　　 2分

设数列的前项和为，则

当时，，要证明

_令 　　只要证明： 其中 .

令，则，所以在上是增函数，

则当时，，即 ，所以，

　则 .　　　　　　　　　 5分

[说明]也可用数学归纳法证明，为此，先证明即证： 其中.

19.(宁波市2009学年度第一学期期末试卷)设　 ．

(1)若是函数的极大值点，求的取值范围；

(2)当时，若在上至少存在一点，使成立，求的取值范围．

(2分)

	递减	极小值	递增

当时，

当时，

	递增	极大值	递减	极小值	递增

	递增	非极值	递增

当时，

当时，

	递增	极大值	递减	极小值	递增

综上所述，当，即时，是函数的极大值点． (7分)

(2)在上至少存在一点，使成立，等价于

　　　 当时, ．　　　　　　 (9分)

由(1)知，①当，即时，

函数在上递减，在上递增，

．

由，解得．

由，解得

，　　 ；　　　　 (12分)

②当，即时，函数在上递增，在上递减，

．

综上所述，当时，在上至少存在一点，使成立． (14分)

18.(江苏省南通市2009届高三上学期期末调研考试数学试卷)已知等差数列的首项为a，公差为b，等比数列的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1

的正整数，且．(1)求a的值；

　　 (2)若对于任意的，总存在，使得成立，求b的值；

　　 (3)令，问数列中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．

解：(1)由已知，得．由，得．

因a，b都为大于1的正整数，故a≥2．又，故b≥3． ……………………2分

再由，得　 ．

由，故，即．

由b≥3，故，解得．　 …………………………………………………4分

于是，根据，可得．……………………………………………6分

(2)由，对于任意的，均存在，使得，则

．

又，由数的整除性，得b是5的约数．

故，b=5．

所以b=5时，存在正自然数满足题意．………………………………………9分

(3)设数列中，成等比数列，由，，得

．

化简，得．　　 (※)　 ……………………………………11分

当时，时，等式(※)成立，而，不成立． ……………………12分

当时，时，等式(※)成立．……………………………………………13分

当时，，这与b≥3矛盾．

这时等式(※)不成立．…………………………………………………………………14分

综上所述，当时，不存在连续三项成等比数列；当时，数列中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50．……………………………………16分

17.(湖北省部分重点中学2010届高三第二次联考)已知数列满足：，且存在大于1的整数k使。

　 (1)用k表示m(化成最简形式)；　 (2)若m是正整数，求k与m的值；

　 (3)当k大于7时，试比较的大小。

解：(1)

　 ①　　　　　　　　　　　　　　 …………2分

②

由①-②得…………4分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………6分

　 (2)由

又故此有

故k=7，m=49　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………9分

　 (3)

　　 　　　 …………14分

w.k.s.5.u.c

16.(江苏省2010届苏北四市(徐州、宿迁、淮安、连云港)期末联考)已知函数，为正整数．

(Ⅰ)求和的值；

(Ⅱ)若数列的通项公式为()，求数列的前项和；

(Ⅲ)设数列满足：，，设，若(Ⅱ)中的满足对任意不小于3的正整数n，恒成立，试求m的最大值.

解：(Ⅰ)=1；

===1；…………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 ,即

由,　　 ……………①

得　 …………②

由①+②, 得

∴，…10分

(Ⅲ) ∵,∴对任意的.

∴即.

∴.

∵∴数列是单调递增数列.

∴关于n递增. 当, 且时, .

∵

∴∴ ∴.而为正整数，

∴的最大值为650. ………………………………………………16分

15.(武昌区2010届高三年级元月调研测试)设函数，且(为自然对数的底数).

(Ⅰ)求实数与的关系；

(Ⅱ)若函数在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围；

(Ⅲ)设，若存在，使得成立，求实数的取值范围.

解：(Ⅰ)由题意，得，

化简，得，.　　 ………………………………………………………………2分

(Ⅱ)函数的定义域为.由(Ⅰ)知，，

. ……………………………………………………………………3分

令，要使在其定义域内为单调函数，只需在内满足或恒成立.

(1)当时，，.

在内为单调减函数，故符合条件. …………………………………………………4分

(2)当时，.只需，即时，此时.

在内为单调增函数，故符合条件.　 ………………………………………………6分

(3)当时，.只需，此时.

在内为单调减函数，故符合条件.

综上可得, 或为所求.　 ………………………………………………………………………8分

(Ⅲ)在上是减函数，时，；时，.

即. ……………………………………………………………………………………………9分

(1)当时，由(Ⅱ)知，在上递减，，不合题意. ………10分

(2)当时，由知，..

由(Ⅱ)知，当时，单调递增，

，不合题意. …………………………………………………12分

(3)当时，由(Ⅱ)知在上递增，，

又在在上递减，.

即，.

综上，的取值范围是.…………………………………………………

14.(昌平区2009－2010学年第一学期高三年级期末质量抽测)对于给定数列，如果存在实常数,使得 对于任意都成立，我们称数列是 “M类数列”．

(I)若，，，数列、是否为“M类数列”？

若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由；

(II)若数列满足，，为常数．

(1)　　　 求数列前项的和；

(2)　　　 是否存在实数，使得数列是“M类数列”，如果存在，求出；如果不存在，说明理由.

解：(I)因为则有

故数列是“M类数列”， 对应的实常数分别为． ……………………………2分

因为，则有　

故数列是“M类数列”， 对应的实常数分别为． ……………………………4分

(II)(1)因为 　则有，，

，　　 　　……………………………….6分

故数列前项的和

++++

　………………9分

若数列是“M类数列”， 则存在实常数

使得对于任意都成立，………………………………………….10分

且有对于任意都成立，

因此对于任意都成立，

而，且

则有对于任意都成立，可以得到，………………………………………12分

①当时，，，，经检验满足条件.

②当 时，，，经检验满足条件.

因此当且仅当或，时，数列也是“M类数列”.对应的实常数分别为, 或．　　　　　 ………………………………………………………………14分

2.当时，证明：．

证明：(1) 由

　　　　 又　　　 ∴　

又n = 1时，

∴　 为等比数列，b₁ = 2，，∴

(2) ∵ 　　∴　

先证：

当n为偶数时，显然成立；

当n为奇数时，即证

而当时，显然也成立，故

当时，令

又令　　 　　　　　　　　 ①

　　　　　　　 ②

①－②：

∴

又

∴ 所证式子左边

即