1.求证：数列{b_n}为等比数列，并求出其通项公式；

13.(西南师大附中高2010级第五次月考)数列{a_n}中a₁ = 2，，{b_n}中．

12.(江苏省苏州中学2010届高三上学期期中考试)已知函数.

(1)若函数是其定义域上的增函数，求实数的取值范围；

(2)若是奇函数，且的极大值是，求函数在区间上的最大值；

(3)证明：当时，.

解：(1) ，，所以，

由于是定义域内的增函数，故恒成立，

即对恒成立，又(时取等号)，故.

(2)由是奇函数，则对恒成立，从而，

所以，有.

由极大值为，即，从而；

因此，即，

所以函数在和上是减函数，在上是增函数.

由，得或，因此得到：

当时，最大值为；

当时，最大值为；

当时，最大值为.

(3)问题等价于证明对恒成立；

，所以当时，，在上单调减；

当时，，在上单调增；

所以在上最小值为(当且仅当时取得)

设，则，得最大值(当且仅当时取得),

又得最小值与的最大值不能同时取到，所以结论成立.

11.(福建省福州三中2010届高三上学期第三次月考)已知函数.(Ⅰ)求函数的极值；

　 (Ⅱ)对于曲线上的不同两点，如果存在曲线上的点，且，使得曲线在点处的切线，则称为弦的伴随切线.特别地，当时，又称为的伴随切线.

(i)求证：曲线的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的；

(ii)是否存在曲线，使得曲线的任意一条弦均有伴随切线？若存在，给

出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由．

(Ⅰ)…………………………………………………　　　　　　　　　　 2分 当，，函数在内是增函数，

∴函数没有极值．………………………………………………　　　　　　　　　　 3分

当时，令，得．

当变化时，与变化情况如下表：

	+	0	－
	单调递增	极大值	单调递减

∴当时，取得极大值．

综上，当时，没有极值；

当时，的极大值为，没有极小值．　　　　　　　　　　　 ……　　 5分

　 (Ⅱ)(ⅰ)设是曲线上的任意两点，要证明

有伴随切线，只需证明存在点，使得

，且点不在上．　　　　　　　　　　　　　　 ………………　　 7分

即成立，且点不在上．　　　　　　　 …………………　　　 8分

以下证明方程在内有解．

记，则．

令，

∴在内是减函数，∴．

取，则，即．…　　　　　　　　　　 9分

同理可证．∴．

∴函数在内有零点．

即方程在内有解．………　　　　　　　　　　　　　 10分

又对于函数取，则

可知，即点Q不在上．

是增函数，∴的零点是唯一的，

即方程在内有唯一解．

综上，曲线上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的．11分

　 (ⅱ)取曲线C：，则曲线的任意一条弦均有伴随切线．

证明如下：

设是曲线C上任意两点，则，

又，

即曲线C：的任意一条弦均有伴随切线．　　　　　　　　 ………………14分

注：只要考生给出一条满足条件的曲线，并给出正确证明，均给满分．若只给曲线，没有给出正确的证明，不给分．

10.(广东省广州市2010届高三上学期期末调研)设为数列的前项和，对任意的N，都有 为常数，且．

(1)求证：数列是等比数列；

(2)设数列的公比，数列满足 ，N，求数列的通项公式；

(3)在满足(2)的条件下，求证：数列的前项和．

(1)证明：当时，，解得．……………………………………1分

当时，．…………………………………2分

即．

∵为常数，且，∴．……………………………3分

∴数列是首项为1，公比为的等比数列．……………………………4分

(2)解：由(1)得，，． ………………………5分

∵，………………………………………………………6分

∴，即．……………………………………7分

∴是首项为，公差为1的等差数列．…………………………………………………………8分

∴，即(N)．……………………………9分

(3)证明：由(2)知，则．………………………………10分

所以 ，……………11分

当时，，…………………12分

所以

　　　 ．……………………………………

9.(福建省普通高中毕业班质量检查)已知函数

(Ⅰ)求函数的极值；

(Ⅱ)对于曲线上的不同两点，，如果存在曲线上的点，且，使得曲线在点处的切线∥，则称为弦的伴随切线。特别地，当时，又称为的λ－伴随切线。

(ⅰ)求证：曲线的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的；

(ⅱ)是否存在曲线C，使得曲线C的任意一条弦均有伴随切线？若存在，给出一条这样的曲线 ，并证明你的结论； 若不存在 ，说明理由。

(Ⅰ)　　 …………………………………………………………　　　 2分

当，，函数在内是增函数，

∴函数没有极值。　　　　　　　 ……………………………………………………　　　 3分

当时，令，得。

当变化时，与变化情况如下表：

	+	0	－
	单调递增	极大值	单调递减

∴当时，取得极大值。

综上，当时，没有极值；

当时，的极大值为，没有极小值。　　　　　　　　　　 ……………5分

(Ⅱ)(ⅰ)设是曲线上的任意两点，要证明

有伴随切线，只需证明存在点，使得

，且点不在上。　　　　　　　 ……………………7分

∵，即证存在，使得，即成立，且点不在上。　　 …………………8分

以下证明方程在内有解。

记，则。

令，

∴，

∴在内是减函数，∴。

取，则，即。……9分

同理可证。∴。

∴函数在内有零点。

即方程在内有解。………………10分

又对于函数取，则

可知，即点Q不在上。

是增函数，∴的零点是唯一的，

即方程在内有唯一解。

综上，曲线上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的。

……………………………………………………………………………　　 11分

(ⅱ)取曲线C：，则曲线的任意一条弦均有伴随切线。

证明如下：

设是曲线C上任意两点，

则，

又，

即曲线C：的任意一条弦均有伴随切线。　　 …………………14分

注：只要考生给出一条满足条件的曲线，并给出正确证明，均给满分。若只给曲

线，没有给出正确的证明，不给分。

解法二：

(Ⅰ)同解法一。

(Ⅱ)(ⅰ)设是曲线上的任意两点，要证明

有伴随切线，只需证明存在点，使得

，且点不在上。　 ……………………………　　 7分

∵，即证存在，使得，

即成立，且点不在上。　　　 ……………　　 8分

以下证明方程在内有解。

设。

则。

记，

∴，

∴在内是增函数，

∴。　 ……………………………………………　　 9分

同理。。

∴方程在内有解。　　　 …………10分

又对于函数，

∵，，

可知，即点Q不在上。

又在内是增函数，

∴方程在内有唯一解。

综上，曲线上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的。

……………………………………………………………………………　　 11分

(ⅱ)同解法一。

8.(湖南师大附中2010届高三第五次月考)如图，抛物线的顶点在坐标原点，且开口向右，点A，B，C在抛物线上，△ABC的重心F为抛物线的焦点，直线AB的方程为.

(Ⅰ)求抛物线的方程；

(Ⅱ)设点M为某定点，过点M的动直线l与抛物线相交于P，Q两点，试推断是否存在定点M，使得以线段PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由.

[解](Ⅰ)设抛物线方程为，

联立消去x，得　　　　　　　　　　　　　　　 (2分)

设点，则.

所以.　　　　　　　　　　　　　 (4分)

设点，因为△ABC的重心为，则

，所以.　　　　　　　　　　 (5分)

因为点C在抛物线上，则，解得p＝8，此时.

故抛物线方程为y²＝16x.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (6分)

(Ⅱ)设过定点M的动直线l的方程为，代入抛物线方程y²＝16x，得

，所以.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (8分)

若以线段PQ为直径的圆经过坐标原点，则，即.

所以，即，所以.

因为，所以.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (10分)

所以直线l的方程为，即，从而直线l必经过定点. (11分)

若直线l的斜率不存在，因为直线与抛物线的交点为，此时仍有.故存在定点满足条件.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (13分)

7.(哈三中2009-2010学年度上学期高三学年期末考试)已知函数.

　(Ⅰ) 比较与的大小；

(Ⅱ) 求证：.

(Ⅰ)

则，设函数

则，则单调递减，

所以，所以

则，即；

(Ⅱ).

因为

则

则原结论成立.

6.(崇文区2009－2010学年度第一学期期末统一练习)已知为二次函数，不等式的解集为，且对任意，恒有，.数列满足，

(Ⅰ)求函数的解析式；

(Ⅱ)设，求数列的通项公式；

(Ⅲ)若(Ⅱ)中数列的前项和为，求数列的前n项和.

解：(Ⅰ)依题意，,即

令，则，有，

得，即，得.

.　　　　　　　　　　　　　　 ---------------- 4分

(Ⅱ)，则

即，两边取倒数，得，即.

　数列是首项为，公差为的等差数列.

.　　　　　　　　 ---------------- 9分

(Ⅲ)

.

(1)当为偶数时

(2)当为奇数时

综上，　　　　　 ----------------1 3分

5.(北京市西城区2010年高三年级抽样测试)已知曲线，过C上一点作斜率的直线，交曲线于另一点，再过作斜率为的直线，交曲线C于另一点，…，过作斜率为的直线，交曲线C于另一点…，其中，

　 (1)求与的关系式；(2)判断与2的大小关系，并证明你的结论；

　 (3)求证：.

解：(1)由已知过斜率为的直线为

　　　 ，

　　　 直线交曲线C于另一点

　　　 所以=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

　　　 即，≠0，

　　　 所以　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

　 (2)解：当为奇数时，；当n为偶数时，　　　　　　　　　　　　　　　 5分

　　　 因为，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

　　　 注意到，所以与异号

　　　 由于，所以，以此类推，

　　　 当时，；

　　　 当时，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

　 (3)由于，，

　　　 所以≥1(，…)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9分

　　　 所以≤　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分

　　　 所以≤≤≤…≤　　　　　　 12分

　　　 所以≤

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14分