20. (本题14分)
已知定点,动点
满足
,线段
与圆:
交于点
,过点
作直线
垂直于
轴,过点
作
,垂足为
,
(Ⅰ)求动点的轨迹方程
(Ⅱ)求点的轨迹方程。
(III)过点作直线m,与点
的轨迹交于M、N两点,C为点
的轨迹上不同于M、N的任意一点,问
是否为定值,若是,求出该值;若不是,请说明理由。
解:(Ⅰ)根据题意动点的轨迹方程是
……2分
(Ⅱ)设,
,
, ……4分
根据题意有 ……6分
点的轨迹方程为
……8分
(III)设,由椭圆
是中心对称图形,
,
,
, ……10分
……11分
又点都在椭圆
上,
所以
即
是一个定值。 ……14分
注:以上解答题若有其它解法请按步骤相应给分
19. (本题14分)
数列中,
,
是
的前
项和,且
,
。
(Ⅰ)求数列的通项公式
(Ⅱ)若,求数列
的通项公式
(III)若,求数列
的前
项和
解:(Ⅰ)由,
得
所以 ……3分
(Ⅱ)由,
,利用叠加法得
……6分
……8分
(III) ……9分
①
②
①-②得
……14分
18. (本题13分)
春运期间,火车站要对5节车厢进行编组,其中1、2号为卧铺车厢,3号为餐车车厢,4、5号为硬座车厢。编组规则是:卧铺车厢不能分开,硬座车厢也不能分开,卧铺车厢与硬座车厢之间必须用餐车车厢隔开。
(Ⅰ)问恰好按照车号1至5排序的编组概率是多少?
(Ⅱ)卧铺车厢在前,硬座车厢在后的编组概率是多少?
解:根据题意,车厢编组的结果一共有8种可能:(1,2,3,4,5),(1,2,3,5,4),
(2,1,3,4,5),(2,1,3,5,4),(5,4,3,2,1),(5,4,3,1,2),
(4,5,3,2,1,),(4,5,3,1,2) ……8分
恰好按照车号1至5排序的编组概率是 ……10分
卧铺车厢在前,硬座车厢在后的编组概率为 ……13分
17. (本题13分)
如图,在正四棱柱
中,
棱长,
是
的中点。
(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)求点到平面
的距离
(Ⅰ)证明:连结,交
于
,连结
……1分
正四棱柱
中,底面
是正方形
点
是
的中点 ……2分
又是
的中点
是
的中位线
……4分
平面
,
平面
,
平面
……6分
(Ⅱ)解:过点作
,垂足为
……7分
正四棱柱
中,底面
是正方形
,
平面
……8分
……9分
又
平面
……10分
又,
平面
……11分
在中,
,
,
即点
到平面
的距离是
……13分
16. (本题13分)
已知函数
(Ⅰ)求在
处的切线方程
(Ⅱ)求在区间
上的最大值和最小值
解:(Ⅰ) ……2分
,切点坐标
……3分
切线斜率 ……4分
在
处的切线方程为
即
……6分
(Ⅱ)令,解得
或
……8分
在区间上
的关系如下表 ……10分
![]() |
0 |
![]() |
![]() |
![]() |
1 |
![]() |
2 |
![]() |
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
![]() |
1 |
↗ |
极大值![]() |
↘ |
极小值1 |
↗ |
3 |
因此 在区间
上的最大值是 3 最小值是1 ……13分
15.(本题13分)
已知向量
(Ⅰ)若,求
(Ⅱ),求
的周期和最小值
解:(Ⅰ) ……4分
……6分
(Ⅱ) ……9分
的周期
……10分
当时,函数
有最小值
……13分
20. (本小题满分14分)
已知定点,动点
满足
,线段
与圆:
交于点
,过点
作直线
垂直于
轴,过点
作
,垂足为
.
(Ⅰ)求动点的轨迹方程;
(Ⅱ)求点的轨迹方程;
(III)过点作直线m,与点
的轨迹交于M、N两点,C为点
的轨迹上不同于M、N的任意一点,问
是否为定值,若是,求出该值;若不是,请说明理由.
(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)
门头沟区2010年高三年级抽样测试数学(文史类)标准答案及评分标准
19. (本小题满分14分)
数列中,
,
是
的前
项和,且
,
.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若,求数列
的通项公式;
(III)若,求数列
的前
项和
.
18. (本小题满分13分)
春运期间,火车站要对5节车厢进行编组,其中1、2号为卧铺车厢,3号为餐车车厢,4、5号为硬座车厢。编组规则是:卧铺车厢不能分开,硬座车厢也不能分开,卧铺车厢与硬座车厢之间必须用餐车车厢隔开.
(Ⅰ)问恰好按照车号排序的编组概率是多少?
(Ⅱ)卧铺车厢在前,硬座车厢在后的编组概率是多少?
17. (本小题满分13分)
如图,在正四棱柱中,
棱长,
是
的中点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求点到平面
的距离.
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