19.(13分)已知圆:交轴于、两点，曲线是以为长轴，离心率为的椭圆，其左焦点为，若是圆上一点，连结，过原点作直线的垂线交直线于点.

⑴求椭圆的标准方程；

⑵若点的坐标为，求证：直线与圆相切；

⑶试探究：当点在圆上运动时(不与、重合)，直线与圆是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由.

18.(14分)如图，四面体中，、是、的中点，

.

⑴求证：平面；

⑵求二面角的余弦值.

⑶在上是否存在点，使平面？若存在，找出点的位置；若不存在，说明理由.

17.(14分)设.

⑴若，求函数的图像在处的切线方程；

⑵若在其定义域内为单调增函数，求和取值范围.

16.(13分)某班50 名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试的结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

⑴若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；

⑵从测试成绩在内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为、，求事件“”的概率.

⑶从中随机抽取两名同学，设其成绩在的人数为，求的分布列与数学期望.

15.(13分)设，其中向量，.

⑴求的最小正周期与单调递减区间；

⑵求在区间上的最大值与最小值，以及它们分别对应的的值.

14.若为的各位数字之和.如：因为，，所以，又如.记，，……，，，

则　　 ，　　

13.如图，为圆的直径，，为延长线上一点，，过作圆的切线，切点为，是垂直的弦，垂足为，则的长为　　

12.如图，在中，，，.若以顶点为极点，射线为极轴，建立极坐标系，则顶点的一个极坐标为　　　 　(写出一个即可)

11.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体积为　　

10.已知、满足，则的最大值为