1.求圆的方程：主要用待定系数法，可以用圆的标准方程，求出圆心坐标和半径；或是利用圆的一般方程求出系数D、E、F的值。

[例1](1)求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x─y─3=0上的圆的方程;

(2)一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程

解：(1)设圆心P(x₀,y₀),则有,

解得　 x₀=4, y₀=5, 　

∴半径r=,

∴所求圆的方程为(x─4)²+(y─5)²=10

(2)因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，

故设圆方程为

又因为直线y=x截圆得弦长为2，

则有+=9b²，

解得b=±1故所求圆方程为

或

◆提炼方法:(1)确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；(2)待定系数法;(3)尽量利用几何关系求a、b、r或D、E、F.

[例2]已知⊙O的半径为3，直线与⊙O相切，一动圆与相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程。

解：取过O点且与平行的直线为x轴，过O点且垂直于

的直线为y轴，建立直角坐标系。

设动圆圆心为M(x,y)，⊙O与⊙M的公共弦为

AB，⊙M与切于点C，则

AB为⊙O的直径，MO垂直

平分AB于O。

由勾股定理得

即： 这就是动圆圆心的轨迹方程

[例3]已知圆M：2x²+2y²－8x－8y－1＝0和直线l：x+y－9＝0, 过直线 上一点A作△ABC，使∠BAC=45°，AB过圆心M，且B，C在圆M上。

⑴当A的横坐标为4时，求直线AC的方程；

⑵求点A的横坐标的取值范围。

解：⑴依题意M(2，2)，A(4，5)，，设直线AC的斜率为，则,解得 或，故所求直线AC的方程为5x+y－25＝0或x－5y+21＝0；

⑵圆的方程可化为(x－2)²+(y－2)²＝，设A点的横坐标为a。则纵坐标为9－a；

①当a≠2时，，设AC的斜率为k，把∠BAC看作AB到AC的角，则可得，直线AC的方程为y－(9－a)＝(x－a)即5x－(2a－9)y－2a²+22a－81＝0，又点C在圆M上，

所以只需圆心到AC的距离小于等于圆的半径，

即，

化简得a²－9a+18≤0，解得3≤a≤6；

②当a＝2时，则A(2，7)与直线 x=2成45°角的直线为y－7＝x－2即x－y+5＝0，M到它的距离，这样点C不在圆M上，还有x+y－9＝0，显然也不满足条件，故A点的横坐标范围为［3，6］。

[例4]设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1,在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.

解法一:设圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为│b│,│a│.

由题设圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90⁰，知圆P截x轴的弦长为，故r²=2b²

又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有r²=a²+1.从而得2b²-a²=1.

又点P(a,b)到直线x-2y=0的距离为

所以5d²=│a-2b│²=a²+4b²-4ab

≥a²+4b²-2(a²+b²)=2b²-a²=1,

当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d²=1,从而d取得最小值.

由此有

解此方程组得

由于r²=2b²知于是,所求圆的方程是:

(x-1)²+(y-1)²=2,或(x+1)²+(y+1)²=2.

解法二:同解法一得　

将a²=2b²-1代入上式,整理得

　 ②

把它看作b的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即

△=8(5d²-1)≥0,　 得　 5d²≥1.

所以5d²有最小值1，从而d有最小值

将其代入②式得2b²±4b+2=0.解得b=±1.

将b=±1代入r²=2b²,得r²=2.由r²=a²+1得a=±1.

综上 a=±1,b=±1,r²=2.

由│a-2b│=1知a,b同号.于是,所求圆的方程是

(x-1)²+(y-1)²=2,或(x+1)²+(y+1)²=2.

[研讨.欣赏]已知平面上一定点C(4，0)和一定直线为该平面上一动点，作，垂足为Q，且(

(1)问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；

(2)设直线与(1)中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使 得以线段AB为直径的圆经过点D(0，－2)？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由

解：(1)设P的坐标为，由得

∴(化简得　

∴P点在双曲线上，其方程为

(2)设A、B点的坐标分别为、，

由　 得

，

∵AB与双曲线交于两点，∴△>0，

即解得

∵若以AB为直径的圆过D(0，－2)，则AD⊥BD，

∴，即

∴

∴

∴,　

即存在符合要求.

6.圆(x－2)²+(y－2)²＝1关于x轴的对称方程是(x－2)²+(y+2)²＝1.

设l方程为y－3＝k(x+3)，由于对称圆心(2，－2)到l距离为圆的半径1，从而可得k₁＝－，k₂＝－．故所求l的方程是3x+4y－3＝0或4x+3y+3＝0.

6. 自点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x²+y²－4x－4y+7＝0相切，则光线l所在直线的方程是_______________.

简答提示：1－4.BCBC；　 5.

5.(2006全国Ⅱ)过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率=___________.

4．M(为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为( 　)

A．相切 B．相交　 C．相离 D．相切或相交

3．(2005北京)从原点向圆作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为　　　　　　　　 (　 　)

A．π　　　　　　　　　　　 B．2π　　　　　　　　　　 C．4π　　　　　　　　　　 D．6π

2．(2005北京)直线所截得的线段的长为( 　)

A．1　　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　 D．2

1．(2006陕西) 设直线过点(0,a),其斜率为1, 且与圆x²+y²=2相切,则a 的值为(　 )

A. ±　　 B. ±2　　　 B.±2　　 D.±4

9.特别提示:解直线与圆的问题,要尽量充分地利用平面几何中圆的性质,利用几何法解题要比解析方法来得简捷.