18．(天津市武清区2009-2010学年高三下学期第一次模拟理)(本小题满分12分)

甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场。每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局。在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为。

(1)求甲获第一名且丙获第二名的概率；

(2)设在该次比赛中，甲得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望。

　 解：(1)甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙，

　　 ∴ 甲获第一的概率为×=　 ………………2分

　　　　 丙获第二，则丙胜乙，其概率为1-=　 ………………4分

∴ 甲获第一名且丙获第二名的概率为×=　 ……………6分

(2)ξ可能取的值为0、3、6　 …………………………7分

　　 甲两场比赛皆输的概率为

P(ξ=0)=(1-)(1-)= ………8分

　　　　 甲两场只胜一场的概率为

P(ξ=3)=×(1-)+×(1-)=　 ………………9分

　　　　 甲两场皆胜的概率为P(ξ=6)=×=　 ……………10分

　　　 ∴ ξ的分布列为

ξ	0	3	6
P

∴ Eξ=0×+3×+6×=　 ……………………12分

18．(本题满分12分)

　　 解：甲乙抽出卡片的所有可能情况：

　　 共计20种结果。-------------------6分(可以不用表格)

　 (Ⅰ)甲抽到2的情况一共有4种情况，

　　 所以甲抽到2的概率是-----9分

　 (Ⅱ)当甲比乙抽得的卡片上的数字大时甲获胜。由上表可知共有10种情况

　　 所以甲获胜的概率为-----------12分

18．(天津十二区县重点中学2010年高三联考一文)(本小题满分12分)一个盒子中有5只同型号的灯泡，其中有3只合格品，2只不合格品。现在从中依次取出2只，设每只灯泡被取到的可能性都相同，请用“列举法”解答下列问题：

　 (Ⅰ)求第一次取到不合格品，且第二次取到的是合格品的概率；

　 (Ⅱ)求至少有一次取到不合格品的概率。

18．解：(Ⅰ)设选手甲第次击中目标的事件为，

　　 则

　　 依题可知：与相互独立

　　 所求为：………………5分

　 (Ⅱ)可能取的值为0，3，5，6．　 　　　　　………………6分

　　 的分布列为：

	0	3	5	6
	0．2	0．16	0．128	0．512

　　 ………………10分(表中的每一个概率值各占1分)

　　 ．………………12分

18． (天津十二区县重点中学2010年高三联考一理)(本小题满分12分)

　　 某射击游戏规定：每位选手最多射击3次；射击过程中若击中目标,方可进行下一次射击，否则停止射击；同时规定第次射击时击中目标得分，否则该次射击得分。已知选手甲每次射击击中目标的概率为，且其各次射击结果互不影响．

　 (Ⅰ)求甲恰好射击两次的概率；

　 (Ⅱ)设该选手甲停止射击时的得分总和为，求随机变量的分布列及数学期望．

22． 解：(1)设数列的公比为．由，得；

由成等差数列，得_{[来源:高&考%资(源#网]}

即，消去，得，解得或，又因为，所以．将代入，解得，

所以

(1)由，得，当时，，当时，，

所以．

当时，因为；

所以，当时，．

(3)

．

所以对有．

22．(天津市天津一中2010届高三第四次月考文科)已知数列是公比大于1的等比数列，数列的前项和，满足，且构成等差数列，数列满足：，

．

(1)求的通项公式；

(2)证明：；

(3)求证：．

22、解：(1) ，　　 ，……………………(2分)

由得……………………(3分)

即数列是以为首项，以为公比的等比数列

……………………(4分)

注：用数学归纳法也可以。

(2)

要证明只需证明

即证即证明成立……………………(6分)

构造函数……………………(7分)

则，……………………(8分)

当时，，即在上单调递减，所以

，即对一切都成立，

……………………(10分)

(3)

由(2)可知

……………………(12分)

利用错位相减法求得

……………………(14分)

22．(天津市天津一中2010届高三第四次月考理科)设数列满足且

(1)求,并求数列 的通项公式；

(2)对一切，证明成立；

(3)记数列的前项和分别是，证明

20．解：(1)因为

解得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………1分

再分别令n=2，n=3，解得　　　　　　　　　　 …………3分

　 (2)因为

所以

两式相减得

所以

又因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列

所以，所以　　　　　　　　　　　　 …………7分

　 (3)因为，

所以

所以①

　　 ②

①-②得：

所以　　　　　　　　　　　　　　　 …………10分

若

则

即所以，解得，

所以满足不等式的最小n值6，　　　　　　　 …………12分