30．(2007湖北)已知m，n为正整数.

(Ⅰ)用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)^m≥1+mx；

(Ⅱ)对于n≥6，已知，求证，m=1,1,2…，n；

(Ⅲ)求出满足等式3ⁿ+4^m+…+(n+2)^m=(n+3)ⁿ的所有正整数n.

解：(Ⅰ)证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：

当x>-1，且x≠0时，m≥2,(1+x)m>1+mx.　 1

(i)当m=2时，左边＝1+2x+x²,右边＝1+2x，因为x≠0,所以x²>0，即左边>右边，不等式①成立；

(ii)假设当m=k(k≥2)时，不等式①成立，即(1+x)^k>1+kx,则当m=k+1时，因为x>-1,所以1+x>0.又因为x≠0,k≥2,所以kx²>0.

于是在不等式(1+x)^k>1+kx两边同乘以1+x得

(1+x)k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx²>1+(k+1)x,

所以(1+x)^k+1>1+(k+1)x,即当m＝k+1时，不等式①也成立.

综上所述，所证不等式成立.

(Ⅱ)证：当

而由(Ⅰ)，

(Ⅲ)解：假设存在正整数成立，

即有()+＝1.　②

又由(Ⅱ)可得

()+

+与②式矛盾，

故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n.

故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形；

当n=1时，3≠4，等式不成立；

当n=2时，3²+4²＝5²，等式成立；

当n=3时，3³+4³+5³＝6³，等式成立；

当n=4时，3⁴+4⁴+5⁴+6⁴为偶数，而7⁴为奇数，故3⁴+4⁴+5⁴+6⁴≠7⁴,等式不成立；

当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立.

综上，所求的n只有n=2,3.

29.(2007北京)记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．

(I)若，求；

(II)若，求正数的取值范围．

解：(I)由，得．

(II)．

由，得，又，所以，

即的取值范围是．

28.(2006上海)不等式的解集是　　　　　　　　　　　　　　 .

答案　　 ．

解析　 应用结论： ．不等式 等价于(1-2x)(x+1)>0，也就是 ，所以 ，从而应填 ．

27.(2006浙江)不等式的解集是　　　　。.

答案　 x<－1或x>2

解析　 Û(x+1)(x－2)>0Ûx<－1或x>2.　

26．(2006江苏)不等式的解集为　

[思路点拨]本题考查对数函数单调性和不等式的解法

答案　

解析　 ，0〈，.

解得

25．(2007北京)已知集合，．若，则实数的取值范围是　　 　　　 (2，3)　　　　　　　　　　 ．

24.(2008江西)不等式的解集为　　　　　　　　 ．

答案　

23.(2008山东)若不等式｜3x-b｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围　　　　 .

答案　 (5，7).

22、(2008上海)不等式的解集是　　　．

答案　 (0，2)

21. (2005山东)，下列不等式一定成立的是　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 　　)

A.B.

C.

D.

答案　 A