15、(重庆市万州区2009级高三第一次诊断性试题)已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点P满足：，且.

(I)求动点P的轨迹G的方程；

(II)过点B的直线与轨迹G交于两点M，N.试问在x轴上是否存在定点C ,使得 为常数.若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由.

解：(Ⅰ)由余弦定理得：　 ……1分

即16＝

＝＝

所以，

即　 ……………………………………………4分

(当动点P与两定点A,B共线时也符合上述结论)

所以动点P的轨迹为以A,B为焦点，实轴长为的双曲线

所以，轨迹G的方程为　　　　 …………………………………………6分

(Ⅱ)假设存在定点C(m,0),使为常数.

①当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为

　 …………………………………………7分

由题意知，

设，则，　 …………………8分

于是

∴

＝ ………………9分

＝

要是使得 为常数，当且仅当，此时 ………………11分

②当直线l与x轴垂直时，,当时.

　故，在x轴上存在定点C(1,0) ,使得 为常数. …………………………12分

14、(重庆市万州区2009级高三第一次诊断性试题)已知向量

(Ⅰ)当时，求函数的值域；

(Ⅱ)若的值.

解：(Ⅰ)由………4分

∵

∴的值域为[－1，2]　　　　　 ……………………7分

(Ⅱ)∵

∴

∴　　　　　　　　　 ………………10分

∴………………13分

13、(郓城实验中学·理科)在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP′，P′为垂足.

　 　(1)求线段PP′中点M的轨迹C的方程；

　 　　　　(2)过点Q(－2,0)作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点，且以 为方向向量的直线上一动点，满足(O为坐标原点)，问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

(解)(1)设M(x，y)是所求曲线上的任意一点，P(x₁，y₁)是方程x² +y² =4的圆上的任意一点，则

　　 则有：得，

　　 轨迹C的方程为

　 (1)当直线l的斜率不存在时，与椭圆无交点.

　　 所以设直线l的方程为y = k(x+2)，与椭圆交于A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)两点，N点所在直线方程为

　　 由

　　 由△=

　　 即 …　　

　　 即，∴四边形OANB为平行四边形

　　 假设存在矩形OANB，则，即，

　　 即，

　　 于是有　　 得 …

设，

即点N在直线上.

　∴存在直线l使四边形OANB为矩形，直线l的方程为

12、(烟台·理科)设函数

　 (1)求函数上的单调递增区间；

　 (2)当的取值范围。

(解)(1)，…………2分

　 (2)当，

11、(烟台·理科)设向量在[0，1]上的最大值与最小值的和为a_n,又数列满足:

　 (1)求证：；

　 (2)求的表达式；

　 (3)中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有成立？证明你的结论。

(解)(1)证明：　

所以在[0，1]上为增函数，　 …………4分

　 (2)解：由

　 (3)解：由(1)与(2)得 …………10分

设存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有成立，

所以存在正整数k=9，使得对于任意的正整数n，都有成立。…………14分

10、(苍山诚信中学·理科)已知A、B、C的坐标分别为A(3，0)，B(0，3)，C()，

　　　 (I)若求角的值；

　　　 (II)若的值.学

(解)(1)，…………2分

，

.……………………4分

由得.　　 又.…………6分

(2)由

①………………7分

又………………9分

由①式两分平方得

……………………12分

8、(四川省绵阳市高中2009级第二次诊断性考试)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知向量＝(c－2b，a)，＝(cosA，cosC)，且⊥. (1)求角A的大小； (2)若＝4，求边BC的最小值. 解：(1)由已知·＝(c－2b，a)·(cosA，cosC)＝0， 即(c－2b)cosA+acosC＝0， 由争先定理，得(2RsinC－4RsinB)cosA+2rsinAcosC＝0， ∴2sinBcosA＝sinAcosC+sinCcosA＝sin(A+C)＝sinB， 由sinB≠0，得2cosA＝1　 Þ　 A＝60°. (2)由已知，得＝||cosA＝cb·cos60°＝4， ∴bc＝8， 因此a²+b²+c²－bc≥2bc－bc＝bc＝8， 即BC的最小值为2.

7、(安徽省巢湖市2009届高三第一次教学质量检测)设的内角的对边分别为，已知，向量 ，，且与共线．

(Ⅰ)求角的大小；

(Ⅱ)求的值．

解：(Ⅰ)， 　……………………2分

即　　　………………………………4分

　　　　　 ……………………………6分

(Ⅱ)由

　　　　 ，　　　　　 ……………………………………10分

6、(福建省莆田第一中学2008-2009学年度上学期第一学段段考)设向量，，x∈R，函数.

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和最小值；

(Ⅱ)求函数在上的单调增区间．

解：(Ⅰ)

∵　　　　　　　　　　　　　　 2分

=1+　　　　　　　　 4分

∴最小正周期是，最小值为.　　　　　　　　　　 6分

(Ⅱ)解法一：因为，

令　　　　　　　　　　　　　　 8分

得函数在上的单调增区间为。　　　　　　　 12分

解法二：作函数图象，由图象得函数在区间上的单调增区间为

5、(2009届福建省福鼎一中高三理科数学强化训练综合卷一)设、是两个不共线的非零向量()

(Ⅰ)记那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？

(Ⅱ)若，那么实数x为何值时的值最小？

解：(1)A、B、C三点共线知存在实数

　　　 即，…………………………………………………4分

　　　 则………………………………………………………………6分

　　　 (2)

　　　 ……………………………9分

　　 当………………………………………12分