(三)导函数

由函数在处求导数的过程可以看到,当时,是一个确定的数,那么,当变化时,便是的一个函数,我们叫它为的导函数.

记作:或,即.

注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.

(二)导数的几何意义

函数在处的导数等于在该点处的切线的斜率,

即

说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

①求出点的坐标;

②求出函数在点处的变化率得到曲线在点的切线的斜率;

③利用点斜式求切线方程.

(一)曲线的切线及切线的斜率

如图3.1-2,当沿着曲线趋近于点时,割线的变化趋势是什么？

我们发现,当点沿着曲线无限接近点即时,割线趋近于确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.

问题: (1)割线的斜率与切线的斜率有什么关系？

　　　 (2)切线的斜率为多少？

容易知道,割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点时,无限趋近于切线的斜率,即

说明: (1)设切线的倾斜角为,

那么当时,割线的斜率,称为曲线在点处的切线的斜率.

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

　　　　 ②切线斜率的本质-函数在处的导数.

(2)曲线在某点处的切线:

1)与该点的位置有关;

2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;

3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.

(二)瞬时速度、导数

我们知道,导数表示函数在处的瞬时变化率,反映了函数在附近的变化情况,导数的几何意义是什么呢？

(一)平均变化率、割线的斜率

20．解：设事件为“方程有实根”．

当，时，方程有实根的充要条件为．

(Ⅰ)基本事件共12个：

．其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．

事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为．

(Ⅱ)试验的全部结束所构成的区域为．

构成事件的区域为．

所以所求的概率为．

19．解：设表示一个基本事件，则掷两次骰子包括：，，，，，，，，……，，，共36个基本事件．

(1)用表示事件“”，则的结果有，，，共3个基本事件．

∴．

答：事件“”的概率为．

(2)用表示事件“”，

则的结果有，，，，，，，，共8个基本事件． ∴．

答：事件“”的概率为．

18.解：(Ⅰ)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间{，，

，，，

，，，

}

由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．

用表示“恰被选中”这一事件，则{，

},事件由6个基本事件组成，

因而．

(Ⅱ)用表示“不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“全被选中”这一事件，由于{}，事件有3个基本事件组成，

所以，由对立事件的概率公式得．

17.解: (1)由,解得,

　　　 (2)初三年级人数为,

　　　　 设应在初三年级抽取m人，则，解得m=12.

　　　　 答: 应在初三年级抽取12名.

　　 (3)设初三年级女生比男生多的事件为，初三年级女生和男生数记为数对，

由(2)知，则基本事件总数有：

共11个，

而事件包含的基本事件有：

共5个，

∴

16、解：(Ⅰ)总体平均数为．

(Ⅱ)设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．

从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：，，，，，，，，，，，，，，．共15个基本结果．

事件包括的基本结果有：，，，，，，．共有7个基本结果．所以所求的概率为．