将化成分数是　　　　

若，则的取值范围是 　　

　　　　　　　 ；　　　　　　　

已知，则　　　 ；　　　 ；　　　　　

　(湖北宜昌市月模拟)已知数列满足()，

且，则　　　 　　　　　　　　　

　(届高三湖北八校联考)已知数列的前项和满足，则其各项和等于　　　　 　　 　　　　　

若数列的通项公式是，，…，

则 　　　　 　　　　

数列中，，，，则

、

问题1．求下列数列的极限：；　 ；　

问题2．(陕西)等于

(天津)设等差数列的公差是，前项的和为，则　　

(湖北)已知和是两个不相等的正整数，且≥，则

问题3．若，求和的值；

若，求的取值范围.

问题4．已知数列满足，，，… ，

若，则　　　　 　　　　　　　　　　

已知，数列满足，(，…)，且数列的极限存在，则　　　　　　　　　 　(结果用表示).

问题5．(福建)如图，连结的各边中点

得到一个新的又连结的各边中点得

到，如此无限继续下去，得到一系列三角形：

，，，…，这一系列

三角形趋向于一个点.已知

则点的坐标是　　　　　

数列极限的定义：

一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于某个常数

(即无限地接近于)，那么就说数列以为极限.记作.

注：不一定是中的项

几个重要极限：(，为常数)； (是常数)；

　；　　　　　　

极限问题的基本类型：分式型，主要看分子和分母的首项系数；

指数型(和型)，通过变形(如通分，约分)使得各式有极限；

根式型(型)，通过有理化变形使得各式有极限；

数列极限的运算法则:与函数极限的运算法则类似, 如果，，那么

　 .

特别地，如果是常数，那么，

无穷等比数列的各项和：公比的绝对值小于的无穷等比数列前项的和当无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做；

(上海)设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”．那么，下列命题总成立的是

　 若成立，则当时，均有成立

　 若成立，则当时，均有成立

　 若成立，则当时，均有成立

　 若成立，则当时，均有成立

　(湖南)已知函数,数列{}满足:

，，求证: ;.

(江西)已知数列满足：，且(≥，)

求数列的通项公式；求证：对于一切正整数，不等式

(湖北)已知为正整数，

用数学归纳法证明：当时，≥；

对于≥，已知，求证，；

求出满足等式的所有正整数.

观察下列式子：，则可以猜想的结论为：　　　　　　　　　 　

用数学归纳法证明“”，从“到”左端需增乘的代数式为

(重庆市重点中学二联)如图，第个图形是由正边形“扩展”而来(，，，…)，则第个图形中共有　　　　　　 个顶点.

凸边形有条对角线，则凸边形有对角线条数为

平面内有条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这条直线把平面分成个区域.

问题1．求证：能被整除.

问题2．求证：

设，且，用数学归纳法证明：

用数学归纳法证明：(其中≥，且).

问题3．已知，，其中、，，，，且.求的反函数；对任意，试指出与的大小关系，并证明你的结论.

问题4．(浙江)设点，和抛物线：()，其中＝，由以下方法得到：，点在抛物线：上，点到的距离是到上点的最短距离，…，点在抛物线：上，点到的距离是 到 上点的最短距离． 求及的方程；证明是等差数列．

归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法特点：特殊→一般.

不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法

完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法

完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法

数学归纳法:对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当(，≥)时命题成立，证明当命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.

数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当(，≥)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立.

用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：

证明：当取第一个值结论正确；假设当(，≥)时结论正确，证明当时结论也正确由，可知，命题对于从开始的所有正整数都正确.数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.

用数学归纳法证题时，两步缺一不可；证题时要注意两凑：一凑归纳假设，二凑目标.

(四川)甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为人的样本，应在这三校分别抽取学生

人，人，人　人，人，人

人，人，人　人，人，人

(天津) 某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中种型号产品有件.那么此样本的容量　　　　　　

(陕西文)某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有种、种、种、种，现从中抽取一个容量为的样本进行食品安全检测。若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是(　 )　 　　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　

(全国Ⅰ文)从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取袋，测得各袋的质量分别为(单位：)：

根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在-之间的概率约为　　　　　　　

(湖北)某初级中学有学生人，其中一年级人，二、三年级各人，现要利用抽样方法抽取人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为，，…，；使用系统抽样时，将学生统一随机编号，，…，，并将整个编号依次分为段.如果抽得号码有下列四种情况：

　　 ①，，，，，，，，，；

　　 ②，，，，，，，，，；

　　 ③，，，，，，，，，；

　　 ④，，，，，，，，，；

　　 关于上述样本的下列结论中，正确的是

　　 ②、③都不能为系统抽样　　　　　 ②、④都不能为分层抽样

　　 ①、④都可能为系统抽样　　　　　 ①、③都可能为分层抽样

(湖南)设随机变量服从标准正态分布，已知，

则　 　　 　　　 　　　 　

(福建)两封信随机投入三个空邮箱，则邮箱的信件数的数学期望　　　　

(浙江)已知随机变量服从正态分布，，

则　　 　　　　 　　 　　　　

(全国Ⅱ)在某项测量中，测量结果服从正态分布．若在内取值的概率为，则在内取值的概率为　　　　

(届高三浙江嘉兴市二检)已知随机变量，若，则　

(辽宁文)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：

分组	[500，900)	[900，1100)	[1100，1300)	[1300，1500)	[1500，1700)	[1700，1900)	[1900，)
频数
频率

将各组的频率填入表中；

根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足小时的频率；

该公司某办公室新安装了这种型号的灯管支，若将上述频率作为概率，试求至少有支灯管的使用寿命不足小时的概率．

对于线性相关系数叙述正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

，越大，相关程度越大，反之，相关程度越小；

，越大，相关程度越大，反之，相关程度越小；

≤，且越接近，相关程度越大，越接近，相关程度越小；

以上说法均不对.

设有一个回归方程，则变量增加一个单位时

平均增加个单位；　　　　 平均增加个单位；

平均减少个单位；　　　　 平均减少个单位；

利用简单随机抽样的方法，从个个体()中抽取个个体，依次抽取.

若第二次抽取后，余下的每个个体被抽取的概率为，则在整个抽取过程中，每个个体被抽取的概率为　　 　　　　　　　　　　　　　　

问题1．(全国Ⅱ文)一个总体含有个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为　　　

(浙江文)某校有学生人，其中高三学生人，为了解学生的身体素质情况，彩用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个人的样本，则样本中高三学生的人数为　　　　　　　　　

(湖南)某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有个、个、个、个销售点.公司为了调查产品的情况，需从这个销售点中抽取一个容量为的样本，记这项调查为①；在丙地区中有个特大型销售点，要从中抽取个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②.则完成这两项调查宜采用的抽样方法依次为　

　　 分层抽样法，系统抽样法　 分层抽样法，简单随机抽样法

　　 系统抽样法，分层抽样法　　　　　 简单随机抽样法，分层抽样法

(届高三湖北省六校)设下表是某班学生在一次数学考试中数学成绩的分布表

分数	，	，	，	，	，	，	，	，
人数

那么分数在中和分数不满分的频率和累积频率分别是

　，　，　　 ，　 ，

(湖北文)为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如右图所示．根据此图，估计该校名高中男生中体重大于公斤的人数为　 　 　　

(湖南)设随机变量服从标准正态分布，已知，

则　　　　 　 　　　

(安徽)以表示标准正态总体在区间内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率等于

问题2．已知从某批材料中任取一件时，取得的材料的强度服从.

计算取得的这件材料的强度不低于的概率；如果所用的材料要求以的概率保证强度不低于，问这些材料是否符合这个要求.

问题3．(湖北)在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有个数据，将数据分组如右表：

分组	频数
合计

在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；

估计纤度落在中的概率及纤度小于的概率是多少？

统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间的中点值是)作为代表．据此，估计纤度的期望．

问题5．假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用(万元)，有如下的统计资料：

若由资料可知与间呈线性相关关系.试求：

线性回归方程；估计使用年限为年时，维修费用是多少？