问题1．(北京)如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，

，平面，且 ，点是的中点.

略； 求证：∥平面；略.

问题2．如图，在正三棱锥中，

、、分别是棱、、上的点，

且，，，

是的中点.求证：平面∥平面；

求证：∥平面

(三)走向高考：

(全国Ⅱ)如图，在四棱锥中，

底面为正方形，侧棱底面,

、分别为的中点．

证明平面；略.

线面平行的证明判定定理:如果平面外一条直线与这个平面内一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行；两平面平行的性质定理：∥，，∥.向量法. 方法1；∥

方法2；∥

方法3；证明直线的方向向量与平面的两不共线向量是共面向量，

即利用平面向量基本定理进行证明.如图，

∥(其中唯一且有序) 　　　

面面平行的证明：判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 垂直于同一条直线的两个平面平行;平行于同一个平面的两个平面平行.设、分别是平面、的法向量，若∥，则∥

(海南)已知命题：，，则(　)

：，　　　 ：，

：，　　　　　　 ：，

(上海)某个命题与正整数有关，若时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当时该命题不成立，那么可推得(　　 )

　当时该命题不成立　 　当时该命题成立

　当时该命题不成立　 　当时该命题成立

(重庆)命题“若，则”的逆否命题是(　)

若≥，则≥或≤　 若，则

若或，则　　　　 若≥或≤，则≥ (山东)命题“对任意的，”的否定是(　　 )

不存在，；　 存在，；

存在，；　　 对任意的，

设命题:函数是上的减函数，命题:函数的定义域为，如果“或”为假命题，求实数的取值范围。

(全国)已知　 设：函数在上单调递减.：不等式

的解集为，如果和有且仅有一个正确，求的取值范围.

　对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是

　 所给命题为假　 它的逆否命题为真 它的逆命题为真它的否命题为真

若命题“”与命题“或”都是真命题，那么

　　 命题与命题的真值相同　　　 命题一定是真命题

　　 命题与命题的真值不同　　　 命题一定是假命题

有下列四个命题：①“若则、互为相反数”的逆命题；②“全等三角形

的面积相等”的否命题；③“若≤ ,则有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题。其中真命题为 　

①②　 　　②③　　　　　 　 ①③　　　　 ③④

　语句或的否定是

若命题：，则是

　 　　 　 　或　

一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中

真命题的个数一定是奇数　　　　　　　 真命题的个数一定是偶数

真命题的个数可能是奇数也可能是偶数　 上述判断都不正确

若是真命题，是假命题。以下四个命题：①且；②或；③非；④非.其中假命的个数是　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

命题“若，则、中至少有一个为零”的逆否命题为___________

命题“存在，使≤”的否定是( 　　)

　　 存在使　　　 不存在使

　　 对任意使≤　　 对任意使

(重庆理)一元二次方程有一个正根和一个负根的充分

　不必要条件是(　　 )

(成都统考)若、、均为实数，且，，

，求证：、、中至少有一个大于

证明：“若则”为真命题

用反证法证明：不存在整数、,使得

命题“若不正确，则不正确”的逆命题的等价命题是(　　 )

若不正确，则不正确　　　 　　若不正确，则正确

若正确，则不正确　　　　　 　若正确，则正确

若命题的逆命题是，命题的否命题为，则以下判断正确的是

　是的逆命题 是的否命题 是的逆否命题 是 的关系不定

(郴州模拟)若且”与“或”均为假命题，则(　　 )

　　命题“”与“”的真值不同 　命题“”与“”至少有一个是假命题

命题“”与“”的真值相同　 　命题“”与“”都是真命题

问题1．

分别指出由下列命题构成的“或”、“且”、“非”形式的复合命题的真假：

：，：；

：是奇数，：是质数；

：≤，：不是质数；

问题2．

①分别写出命题“若，则全为零”的逆命题、否命题和逆否命题．

②(江苏)命题“若，则”的否命题为　　　　　　　 　　　

　　 该命题的否定是　　　　　　　　　　　　　　　　 　(编者自拟)

问题3．命题“若，则有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．

问题4． 已知命题：方程有两个不等的负实根，命题：方程无实根；若或为真，且为假，求实数的取值范围．

问题5．用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程： 有有理根，那么、、中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是　　　　　　　　　

假设、、都是偶数　　　　　 　假设、、都不是偶数　

假设、、至多有一个是偶数　　 假设、、至多有两个是偶数

已知函数对其定义域内的任意两个数、，当时，都有，证明：至多有一个实根．

逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比；

通常复合命题“或”的否定为“且”、“且”的否定为“或”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等；

有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若，则”的形式；

反证法中出现怎样的矛盾，要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题设、定义、定理、公理、公式、法则等矛盾，甚至自相矛盾．

理解由“或”“且”“非”将简单命题构成的复合命题；

由真值表判断复合命题的真假；

四种命题间的关系．

(北京)平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交

于点，则动点的轨迹是 一条直线 　一个圆 一个椭圆 　双曲线的一支

(北京文)设、、、是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是

若与共面，则与共面

若与是异面直线，则与是异面直线

若，，则

若，，则

(重庆)对于任意的直线与平面，在平面内必有直线，使与

平行　　　 　相交　　　 垂直　　　 互为异面直线

(全国Ⅰ)在正方形中，过对角线的一个平面交于，交于，则

①　　 四边形一定是平行四边形;

②　　 四边形有可能是正方形

③　　 四边形在底面内的投影一定是正方形

④　　 四边形有可能垂直于平面

以上结论正确的为　　　　　　 　　　　(写出所有正确结论的编号)

(浙江)若是两条异面直线外的任意一点，则

过点有且仅有一条直线与都平行过点有且仅有一条直线与都垂直

过点有且仅有一条直线与都相交 过点有且仅有一条直线与都异面

(天津)如图，平面，，

且，则异面直线与所成角

的余弦值为　　　　

(江西文)如图，已知三棱锥的侧棱

、、两两垂直，且，，

是的中点．略；求异面直线与所成的角；

略．

问题1．(上海)若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”

是“这四个点在同一平面上”的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

充分非必要条件；必要非充分条件；充要条件；非充分非必要条件．

(全国Ⅲ)不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有

个　　　　　　 个　　　　　　 个　　　　　 个

(全国Ⅱ)正方体中，

、、分别是、、的中点．

那么，正方体的过、、的截面图形是　

　三角形 四边形五边形六边形

如图，，、，，

且，直线，过、、三点

的平面记作，则与的交线必通过

点；　　　　　　　 点；

点但不通过点； 点和点

(江苏)如图，已知是棱长

为的正方体，点在上，点在上，

且.求证：四点共面；(分)

略；略.

问题2．(全国Ⅱ)如图，在直三棱柱中，，、分别

为、的中点．证明：为异面直线与的公垂线；略.

( 要求用传统方法和向量法，注意书写的规范性)

证明：方法(用传统方法)：

方法(用向量法)：

问题3．如图，在正方体中，

棱长，求证：与是异面直线；

求于间的距离.

问题4．(上海春)在棱长为的正方体中，、分别是、 的中点，求异面直线与所成的角( 要求用传统方法和向量法，注意书写的规范性).

解法1(传统方法)：

解法2(向量法)：

(三)课后作业：

如图，在正方体中，、分别

是、的中点，求证：

①、、、四点共面；

②、、三点共线.

角与的两边分别平行，当时， 　　　　　

已知的直观图是边长为的等边，那么的面积为

如图，在空间四边形中，已知，

，且，对角线，

，求与所成的角.