505. 如图9－19，在棱长为a的正方体ABCD-中，O是AC、BD的交点，E、F分别是AB与AD的中点．

图9－19

　(1)求异面直线与所成角的大小；

　(2)求异面直线EF与所成角的大小；

　(3)求异面直线EF与所成角的正切值；

　(4)求异面直线EF与的距离．

解析：(1)∵　 ∥AC，∴　 与AC所成的锐角或直角就是与所成的角，连结、，在△和△，∵　 ＝，，，∴△≌△，∴．∴△是等腰三角形．∵　 O是底边AC的中点，∴　 ，故与所成的角是90°．

　(2)∵　 E、F分别是AB、AD中点，∴　 EF∥BD，又∵　 ∥AC，∴　 AC与BD所成的锐角或直角就是EF与所成的角．∵　 四边形ABCD是正方形，∴　 AC⊥BD，∴　 EF与所成的角为90°

　(3)∵　 EF∥BD，∴　 为异面直线EF与所成的角．∵　 四边形是正方形，∴　 ，∴　 在Rt△中，，＝＝，∴　 ，即EF与所成角的正切值为．

　(4)∵　 EF∥BD，BD⊥AC，∴　 EF⊥AC，设交点为G．∵　 ⊥AC(由(1)

知)于O，则AC是异面直线EF与的公垂线，OG的长即为EF与间的距离，由于G是OA中点，O是AC中点，且，∴　 ，即EF与间的距离为．

504. 如图9－18，已知P为△ABC所在平面外一点，PC⊥AB，PC＝AB＝2，E、F分别为PA和BC的中点．

　(1)求证：EF与PC是异面直线；

　(2)EF与PC所成的角；

　(3)线段EF的长．

解析：(1)用反证法．假设EF与PC共面于a，则直线PE、CF共面a，则A∈a，B∈a，于是P与A、B、C共面于a，这与已知“P是平面ABC外一点”矛盾．故EF与PC是异面直线．

　(2)取PB中点G，连结EG、FG，由E、F分别是线段PA、BC中点，有EGAB，GFPC ∴　 ∠GFE为异面直线EF与PC所成的角，∠EGF是异面直线PC与AB所成的角，∵　 PC⊥AB，∴　 EG ⊥GF，即∠EGF＝90°．∵　 PC＝AB＝2，∴　 EG＝1，GF＝1，故△EFG是等腰直角三角形，∴　 ∠GFE＝45°，即EF与PC所成的角是45°．

　(3)由(2)知Rt△EGF中EG＝1，GF＝1，∠EGF＝90°，∴　 EF＝

503. 借助两支铅笔，试研究以下问题：

　(1)在平面内，过直线外一点有多少条直线与已知直线平行?在空间呢?

图9－17

　(2)在一个平面内，过一点有多少条直线与已知直线垂直?在空间呢?

　(3)在一个平面内，与该平面内的已知直线所成角为60°的直线有多少条?这些直线与已知直线的位置关系如何?在空间，与一条直线所成角为60°的直线有多少条?这些直线与已知直线的位置关系如何?

解析：(1)在一个平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；在空间也如此．

　(2)在一个平面内，过一点(该点可在直线上，也可在直线外)有且只有一条直线与已知直线垂线；在空间过直线上或直线外一点都有无数条直线和已知直线垂直，这无数条直线在过已知点的一个平面上(以后可知该平面与直线垂直)．

　(3)在一个平面内，与已知直线成60°角的直线有无数条，这无数条直线平行，且都与已知直线相交；在空间也是有无数条直线与已知直线成60°角，它们与已知直线位置关系是相交或异面．

502. 在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，得到四边形EFGH．

　(1)四边形EFGH是______________；

　(2)当对角线AC＝BD时，四边形EFGH是______________；

　(3)当对角线满足条件______________时，四边形EFGH是矩形；

　(4)当对角线AC、BD满足条件_______时，四边形EFGH是正方形．

解析：(1)由三角形中位线定理可知EFAC，HGAC，于是EFHG，故四边形EFGH为平行四边形；

　(2)当AC＝BD时，由EF＝AC，EH＝BD，得EF＝EH，即平行四边形EFGH的邻边相等，故平行四边形EFGH为菱形；

　(3)要使平行四边形EFGH为矩形，需且只须一个角是直角．如需EF⊥FG，则AC⊥BD；

　(4)要使平行四边形EFGH为正方形，需且只须AC⊥ BD，且AC＝BD；

501. 在长方体ABCD－中，AB＝2，，M、N分别是AD、DC的中点．

　(1)证明∥；

　(2)求异面直线MN与所成角的余弦值．

解析：(1)∵　 ∥∥，＝＝，∴　 是平行四边形，∴AC∥，又MN∥AC，因此，MN∥．

　(2)由(1)，是异面直线MN与所成角．在△中，，．于是有．

500. 如图9－16，在棱长为a的正方体ABCD-中，求异面直线AC和的距离．

解析：连结交于，连结BD交AC于O，连结，在矩形中，是中点，O是AC中点，则于O．同理于，∴　 是异面直线AC和的公垂线．∵　 ＝＝a，∴　 AC与间的距离为a．

499. 如图9－15，已知A是平面BCD外一点，满足AC＝BD，M、N、P、Q分别是BC、CD、DA、AB的中点．求证：QN⊥PM．

解析：在△ABC中，∵　 Q是AB中点，M是BC中点，∴　 MQ∥AC，且MQ＝AC，同理PN∥AC，且PN＝AC．∴　 QMPN．∴　 四边形MNPQ是平行四边形，又 ∵ PQ＝BD，QM＝AC，AC＝BD，∴　 PQ＝QM，∴　 平行四边形MNPQ是菱形，∴　 QN⊥PM．

498. 如图9－13，P是平面ABC外一点，PA＝4，，D、E分别为PC和AB的中点，且DE＝3．求异面直线PA和BC所成角的大小．

解析：取AC中点F，连结DF、EF，在△PAC中，∵　 D是PC中点，F是AC中点，则DF∥PA，同理可得EF∥BC，∴　 ∠DFE为异面直线PA与BC所成的角．在△DEF中，DE＝3，又DF＝PA＝2，EF＝BC＝，∴　 ，∴ ∠DFE＝90°，即异面直线PA与BC所成的角为90°．

497. 如图9－12，O是平面ABC外一点，、、分别在线段OA、OB、OC上，且满足，．求证：△ABC∽△．

解析：∵　 ，，∴　 .在△AOB中，由，∴　 ∥AB，同理∥BC，∵　 与∠ABC方向相同，∴　 ＝∠ABC，同理＝∠BAC，∴　 △∽△ABC．

496. 如图9－11，在正方体ABCD-中，E、F分别是棱、的中点，求证：EF∥BD，且．

解析：连结．∵　 ∥，∴　 四边形是平面图形，又∵＝，∴　 四边形是平行四边形，∴　 BD，在△中，∵　 E、F分别是与的中点，∴　 EF，由公理4有EF∥BD，且有．