475. 梯形ABCD中，AB∥CD，AB平面a，CD平面a，则直线CD与平面a内的直

　线的位置关系只能是(　)．

　A．平行　　　　　　　　　　　　　　　 B．平行或异面

　C．平行或相交　　　　　　　　　　　　 D．异面或相交

解析：B．由已知CD∥平面a，a内的直线与CD平行或异面．

474. 给出下列四个命题：

　①若一直线与一个平面内的一条直线平行，则这直线与这个平面平行．

　②若一直线与一平面内的两条直线平行，则这直线与这个平面平行．

　③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

　④若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行．

　其中正确命题的个数是(　)．

　A．0　　　　　 B．1　　　　　 C．2　　　　　　 D．3

解析：B．只有③是正确的

473. 如图9-34，在△ABC中，∠ACB=90°，AB平面a ，点，C在a 内的射影为O，AC和BC与平面a 所成的角分别为30°和45°，CD是△ABC的AB边上的高线，求CD与平面a 所成角的大小．

解析：连结OD，∵　 CO⊥平面AOB，∴　 ∠CDO为CD与平面a 所成的角．∵　 AB、CB与平面a 所成角分别为30°和45°，∴　 ∠CAO=30°，∠CBO=45°．设CO=a，则AC=2a，OB=a，．在Rt△ABC中，，∴　 ．　 ∵　 CD⊥AB，∵　 ，∴　 ．在Rt△COD中，，∵　 0°＜∠CDO＜90°，∴　 ∠CDO=60°，即CD与平面a 所成的角为60°．

472. 已知D为平面ABC外一点，且DA、DB、DC两两垂直．求证：顶点D所对的三角形面积的平方等于其余三个三角形面积的平方和，即．

解析：如图答9-25，设DA=a，DB=b，DC=c，则，，．在△ABD中，作DM⊥AB于M，则．　 ∵　 CD⊥AD，CD⊥DB，∴　 CD⊥平面ADB，∴　 CD⊥DM．在Rt△CDM中，

，　 ∴　

图答9-25

471. 在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥平面ABC．求证：△ABD是锐角三角形．

解析：如图答9-24，设AC=a，BC=b，CD=c，∵　 △ACD是Rt△，∴　 ．　 ∵　 △ABC是Rt△，∴　 ．∵　 △BCD是Rt△，∴　 ．而在

△ABD中，，又∵　 ∠BAD是三角形内角，∴　 0°＜∠BAD＜180°，∴　 ∠BAD是锐角，同理∠ABD、∠ADB是锐角，∴　 △ABD是锐角三角形．

470. 如图9-55，将边长为a的正三角形ABC按它的高AD为折痕折成一个二面角．

　(1)指出这个二面角的面、棱、平面角；

　(2)若二面角是直二面角，求的长；

　(3)求与平面所成的角；

　(4)若二面角的平面角为120°，求二面角的平面角的正切值．

解析：(1)∵　AD⊥BC，∴　AD⊥DC，，∴　二面角的面为ADC和面，棱为AD，二面角的平面角为．

　　(2)若，∵　AC=a，∴　，∴　．

　　(3)∵　，AD⊥DC，∴　AD⊥平面．∴　为与平面所成的角，在Rt△中，，∴　，于是

．

　　(4)取的中点E，连结AE、DE，∵　，，∴　，，∴　∠AED为二面角的平面角，∵　，，∴　，在Rt△AED中，，∴　

469. 在正方体中，，，且，(如图9-54)．求：平面AKM与ABCD所成角的大小．

解析：由于BCMK是梯形，则MK与CB相交于E．A、E确定的直线为l，过C作CF⊥l于F，连结MF，因为MC⊥平面ABCD，CF⊥l，故MF⊥l．∠MFC是二面角M-l-C的平面角．设正方体棱长为a，则，．在△ECM中，由BK∥CM可得，，故．因此所求角的大小为或．

468. ．如图9-53，是长方体，AB=2，，求二平面与所成二面角的大小．

解析：∵　平面ABCD∥平面，∴　平面与平面的交线l为过点且平行于AC的直线．直线l就是二平面与所成二面角的棱．又⊥平面，过作AH⊥l于H，连结AH．则为二面角的平面角．可求得．因此所求角的大小为或

467. 平面a ⊥平面g ，平面b ⊥平面g ，且a ∩g =a，b ∩g =b，a∥b，平面a 与b 的位置关系是________．

解析：平行．在g 上作l⊥a，∵　a∥b，∴　l⊥b．∵　a ⊥g 于a，∴　l⊥a ，同理l⊥b ．∴　a ∥b ．

466. 已知二面角a -l-b 的大小为q (q 是锐角)，A∈l，B∈l，，且P∈a ，P在b 内的射影为P′．记△ABP的面积为S，则△ABP′的面积S′等于________．

解析：Scosq ．作PH⊥l于H，连结．∵　 ，∴　(三垂线定理的逆定理)．∴　为二面角a -l-b 的平面角，即．，，∴　

图答9-46