11．(搬中) 已知椭圆，F为它的右焦点，直线过原点交椭圆C于A、B两点。求是否存在最大值或最小值？若不存在，说明理由。

　　 错解 设A、B两点坐标分别为、

　　 因为

　　 所以

　　 又椭圆中心为(1，0),右准线方程为x=5

　　 所以

　　 即

　　 同理

　　 所以

　　 设直线的方程为y=kx，代入椭圆方程得

　　 所以

　　 代入(1)式得

　　 所以

　　 所以|有最小值3,无最大值。

　　 剖析　 上述错解过程忽视了过原点斜率不存在的直线，当的斜率不存在时，有

　 所以有最小值为 3，最大值为25/4

10．(搬中)已知双曲线,问过点A(1，1)能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。

　　 错解　 设符合题意的直线存在，并设、

　　 则

　　 (1)得

　　 因为A(1，1)为线段PQ的中点，

　　 所以

　　 将(4)、(5)代入(3)得

　　 若，则直线的斜率

　　 所以符合题设条件的直线存在。

　　 其方程为

　　 剖析　 在(3)式成立的前提下，由(4)、(5)两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。

　　 应在上述解题的基础上，再由

　　 得

　　 根据,说明所求直线不存在。

9． (搬中)椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率,已知点P()到椭圆上的点最远距离是，求这个椭圆的方程。

　　 错解　 设所求椭圆方程为

　　 因为

　　 所以a=2b

　　 于是椭圆方程为

　　 设椭圆上点M(x,y)到点P 的距离为d,

　　 则：

　　 所以当时，

　　 有

　　 所以所求椭圆方程为

　　 剖析　 由椭圆方程

　　 得

　　 由(1)式知是y的二次函数，

　　 其对称轴为

　　 上述错解在于没有就对称轴在区间内或外进行分类，

　　 其正确应对f(y)=的最值情况进行讨论：

　　 (1)当，即时

　　 =7

　　 ,方程为

　　 (2)当,

　　 即时，

　　 ，与矛盾。

　　 综上所述，所求椭圆方程为

8． (搬中)已知双曲线的离心率e=, 过点A()和B(a,0)的直线与原点的距离为,直线y=kx+m与该双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m 的取值范围。

　　 错解　 由已知，有

　　 解之得：

　　 所以双曲线方程为

　　 把直线 y=kx+m代入双曲线方程，并整理得：

　　 所以(1)

　　 设CD中点为，

　　 则APCD，且易知：

　　 所以

　　 　(2)

　　 将(2)式代入(1)式得

　　 解得m>4或

　　 故所求m的范围是

　　 剖析　 上述错解，在于在减元过程中，忽视了元素之间的制约关系，将代入(1) 式时，m受k的制约。

　　 因为

　　 所以

　　 故所求m的范围应为

　　 m>4或

7．(搬中)点P与定点F(2，0)的距离和它到直线x=8的距离比是1：3,求动点P与定点距离的最值。

　　 错解：设动点P(x,y)到直线x=8的距离为d，则

　　 即

　　 两边平方、整理得

　　 =1　　 (1)

　　 由此式可得：

　　 因为

　　 所以

　　 剖析　 由上述解题过程知,动点P(x,y)在一椭圆上，由椭圆性质知，椭圆上点的横纵坐标都是有限制的，上述错解在于忽视了这一取值范围，由以上解题过程知，的最值可由二次函数在区间上的单调性给予解决

　　 即：当时，

6．(搬中) 已知圆，圆都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程。

　　 错解：圆O₂：

　　 即为

　　 所以圆O₂的圆心为,半径,

　　 而圆的圆心为,半径,

　　 设所求动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r

　　 则且

　　 所以

　　 即

　　 化简得

　　 即为所求动圆圆心的轨迹方程。

　　 剖析：上述解法将=3看成,误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这是双曲线的概念不清所致。

　　 事实上，|表示动点M到定点及的距离差为一常数3。

　　 且,点M的轨迹为双曲线右支，方程为

5. (石庄中学)在函数的图象上有A、B两动点，满足AB∥x轴，点M(1,m)(m为常数，m>3)是三角形ABC的边BC的中点，设A点横坐标t，△ABC的面积为f (t).

　　　 (1) 求f (t)的解析表达式；

　　　 (2) 若f (t)在定义域内为增函数，试求m的取值范围；

　 　(3) 是否存在m使函数f (t)的最大值18？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由。

　　　 解：(1) f (t) = 2t (m-3t²)　　

　　　　　　　 　 (2) 　　 　∵上是增函数.

　　　　　　　 　　 ∴　 　　即上恒成立.

　　　　　　　　　　 　　　 即m的取值范围

　　　　　　　 　 (3) 令f’(t)=0，得(其中舍去)

　　　　　　　　　　 　即时，在处　 =12，

此时m的值不存在.

令　　 ，即m>9由(2)知f (t)在 为增函数，

，由2(m-3)=18得m=12

综上只存在m=12适合题意。

4．(石庄中学)设有半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，B向北直行，A先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B相遇，设A、B两人速度一定，其速度比为3：1，问两人在何处相遇？

解：设直线CD的方程为

∵圆心O到直线CD的距离3

∴　　　　 　　　　　　　 ①

∵V_A：V_B=3：1

在相同时间内有

S_A：S_B=3：1

∴3b=a+b+　　　　　　　　　 ②

由①②解得

a=5

b=

∴CD直线方程为

∴A与B在距村心北方km处相遇

3. (石庄中学) 如图，A村在B地正北cm处，C村在B地正东4km处，已知弧形公路PQ上任一点到B，C距离之和为8km，现要在公路旁建造一个交电房M分别向A村、C村送电，但C村有一村办工厂用电需用专用线路，不得与民用混线用电，因此向C村要架两条线路分别给村民和工厂送电，要使得所用电线最短，变电房M应建在A村的什么方位，并求出M到A村的距离.

解：，∴M在以B，C为焦点，长轴长为8的椭圆上，建立如图所示的坐标系，则B(-2，0)，C(2，0)， ，

　　 求得椭圆方程为，其离心率，右准线为.

　　 作MN⊥l于N，则，由平面几何知识知，当直线MN通过A时，，此时M的纵坐标为,

　　 ∴M的横坐标为.

　　 故得M在A正东且距A为()km处.

2. (如中)已知双曲线两焦点，其中为的焦点，两点A (-3,2)　 B (1,2)都在双曲线上，(1)求点的坐标；(2)求点的轨迹方程，并画出轨迹的草图；(3)若直线与的轨迹方程有且只有一个公共点，求实数 t的取值范围。

　 解答：(1)由得：

　　　　 故　

(2)设点

　　 则又双曲线的定义得

　 又　 或

　　 　 点的轨迹是以为焦点的椭圆

　 除去点或　　 除去点　 图略。

(3)联列：消去得

　　 　整理得：

　 当时　 得　 从图可知：，

　 又因为轨迹除去点 所以当直线过点时也只有一个交点，即或5

易错原因：(1)非标准方程求焦点坐标时计算易错；(2)求点的轨迹时易少一种情况；(3)对有且仅有一个交点误认为方程只有一解。