2.3转换为平均作用力求功 　如作用于物体的力是变力，且该力随物体位移呈线性变化，则可以求出该变力的平均作用力，由求功，相当于计算恒力功。

例4．用质量为5kg的均匀铁索从10m深的井中吊起一质量为20kg的物体，在这个过程中人至少要做多少功?(g取10m/s) 　解析：由于拉吊的过程中，铁索的长度逐渐缩短，而其重力不能忽略不计，故人的最小拉力(物体匀速上升时的拉力)也在逐渐减小。由题意可知，该拉力大小与铁索缩短的长度之间的关系为线性关系。

开始拉铁索时，拉力F₁=Mg+mg=250N

铁索全部拉完时，拉力F₂=Mg=200N

所以人拉力平均值为F=(F₁+F₂)／2=225N，

力的作用点的位移为10m，

则人拉力做功的最小值W=FS=225×10J=2250J?

2.2过程转换：物体做曲线运动时的变力功问题，可用微元法将曲线化为直线，把变力功问题转化为恒力做功问题。 例3. 如图4所示，磨杆长为L，在杆端施以与杆垂直且大小不变的力F。求杆绕轴转动一周，力F做的功。

解析：磨杆绕轴一周，力的方向始终在变，不能直接用W=FScosα计算。将圆周分成无限个小段，在每一小段弧长可以认为等于对应的弦，且力F的方向不变，可求得元功△W=F·△S，再累加求得杠转一周力F做功W=F·2πL。

2.1对象转换：将变力做功转换为恒力做功，即可应用公式W=FS·cosα求解

例2. 如图3所示，一个人用恒力F=80牛拉绳子的C端，绳子跨过光滑的定滑轮将一个静止的物体由位置A拉到位置B，图中H=2.0m，求此过程中拉力对物体做的功。

解析： 物体在运动过程中，绳作用在物体上的拉力方向不断变化，属变力做功的问题。如果把力F的作用点C作为做功对象，求绳子拉物体的变力之功便转化为求人拉绳子的恒力之功。

物体由A运动到B的过程中，绳C端位移为：

S=H(1/sin30°-1/sin53°)=1.5m。

2. 变力做功转换为恒力做功

1．恒力做功：可用公式W=FScosθ直接计算，其中S为力的作用点对地面的位移，θ为力F和位移S之间的夹角。

例1.一个人通过一个动滑轮用恒力拉动物体A，已知恒力为F，与水平地面夹角为θ，如图，不计绳子的质量和滑轮间的摩擦，当物体A被拉着向右移动了S时，人所做功为(　　)

A、FS　　　　　　　　 B、2FS　

C、FS(1+COSθ)　　 D、无法确定

解析：本例中求“人所做的功”即人用力F作用在绳的端点P所做的功。由图知，当物体A被拉着向右移动了S时，绳端点P的位移S’=，力F与S’的夹角为，则力F对绳端点P所做的功为，答案选D.

2.已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x²在x轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长．

例1在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？

解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积

　 ．

　 　令　　 ＝0，

解得　 x=0(舍去)，x=40，　 并求得　 V(40)=16 000

由题意可知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值

答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm³

解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积

．(后面同解法一，略)　　　　　

由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值

例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2πRh+2πR²

由V=πR²h，得，则S(R)= 2πR+ 2πR²=+2πR²

令　 +4πR=0

解得，R=，

从而h====2

即h=2R，　　 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值

答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省

变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？

提示：S=2+h=

V(R)=R=

)=0 ．

例3已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？

分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．　　　

解：收入，

利润

　　 　　令，即，

求得唯一的极值点

答：产量为84时，利润L最大

课堂巩固：

用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．

归纳反思：

合作探究

1.某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是　　　　　 分，其中 　是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm

问题：(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

　 (2)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

26. (2005年高考辽宁卷第19题)

已知函数设数列}满足，数列}满足

　 (Ⅰ)用数学归纳法证明；

　 (Ⅱ)证明

25. [2008年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学理科第21题](本小题满分12分)

在数列中,,且成等差数列,成等比数列.

⑴求及,由此猜测的通项公式,并证明你的结论;

⑵证明:.

24、[广东省汕头金山中学2008-2009学年上学期高三期末考试数学(理科)第19题](本题14分)

已知数列满足，　　　　　　　　　　　　　 .

(1)求证数列　　 是等比数列，并求其通项公式；

(2)设，求数列的前项和；

(3)设，求证：.