(一)选择题

　　 1、已知a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0<log_mab<1，则m取值范围是

A、m>1　　　　　 B、1<m<8　　　　 C、m>8　 　　　　D、0<m<1或m>8

2、设a>0，b>0，a，x₁，x₂，b成等差数列，a，y₁，y₂，b成等比数列，则x₁+x₂与y₁+y₂的大小关系是

A、x₁+x₂≤y₁+y₂　　　　　　　　　 B、x₁+x₂≥y₁+y₂

C、x₁+x₂<y₁+y₂　　　　　　　　　　 D、x₁+x₂>y₁+y₂

2、已知S_n是{a_n}的前n项和，S_n=Pⁿ(P∈R，n∈N_+­­)，那么数列{a_n}

A、　 是等比数列　　　　　　　　　　　 B、当P≠0时是等比数列

C、　 当P≠0，P≠1时是等比数列　　　　 D、不是等比数列

3、{a_n}是等比数列，且a_n>0，a₂a₄+2a₃a₅+a₄a₆=25，则a₃+a₅等于

A、5　　　　　　　 B、10　　　　　　 C、15　　　　　　　 D、20

4、已知a，b，c成等差数列，则二次函数y=ax²+2bx+c的图象与x轴交点个数是

A、　 0　　　　　　　 B、1　　　　　　　 C、2　　　　　　　 D、1或2

5、设m∈N₊，log₂m的整数部分用F(m)表示，则F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是

A、　 8204　　　　　 B、8192　　　　　 C、9218　　　　　 D、8021

　　 7、若x的方程x²-x+a=0和x²-x+b=0(a≠b)的四个根可组成首项为的等差数列，则a+b的值为

A、　 　　　　　　　B、　　　　　　 C、　 　　　　D、

8、　 在100以内所有能被3整除但不能被7整除的正整数和是

A、1557　　　　　 B、1473　　　　　　 C、1470　　　　　 D、1368

　　 9、从材料工地运送电线杆到500m以外的公路，沿公路一侧每隔50m埋栽一根电线杆，已知每次最多只能运3根，要完成运载20根电线杆的任务，最佳方案是使运输车运行

A、　 11700m　　　　 B、14700m　　　　　 C、14500m　　　　 D、14000m

　　 10、已知等差数列{a_n}中，|a₃|=|a₉|，公差d<0，则使前n项和S_n取最大值的正整数n是

A、4或5　　　　　 B、5或6　　　　　 C、6或7　　　　 D、8或9

　 　例1、已知数列{a_n}为等差数列，公差d≠0，其中，，…，恰为等比数列，若k₁=1，k₂=5，k₃=17，求k₁+k₂+…+k_n。

解题思路分析：

从寻找新、旧数列的关系着手

设{a_n}首项为a₁，公差为d

∵ a₁，a₅，a₁₇成等比数列

∴ a₅²=a₁a₁₇

∴(a₁+4d)²=a₁(a₁+16d)

∴ a₁=2d

设等比数列公比为q，则

对项来说，

在等差数列中：

在等比数列中：

∴

∴

注：本题把k₁+k₂+…+k_n看成是数列{k_n}的求和问题，着重分析{k_n}的通项公式。这是解决数列问题的一般方法，称为“通项分析法”。

例2、设数列{a_n}为等差数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，已知S₇=7，S₁₅=75,T_n为数列{}的前n项和，求T_n。

解题思路分析：

法一：利用基本元素分析法

设{a_n}首项为a₁，公差为d，则

∴

∴

∴

此式为n的一次函数

∴ {}为等差数列

∴

法二：{a_n}为等差数列，设S_n=An²+Bn

∴

解之得：

∴ ，下略

注：法二利用了等差数列前n项和的性质

例3、正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且，求：

(1)数列{a_n}的通项公式；

(2)设，数列{b_n}的前n项的和为B_n，求证：B_n.

解题思路分析：

(I)涉及到a_n及S_n的递推关系，一般都用a_n=S_n-S_n-1(n≥2)消元化归。

∵

∴ 4S_n=(a_n+1)²

∴ 4S_n-1=(a_n-1+1)²(n≥2)

∴ 4(S_n-S_n-1)=(a_n+1)²-(a_n-1+1)²

∴ 4a_n=a_n²-a_n-1²+2a_n-2a_n-1

整理得：(a_n-1+a_n)(a_n-a_n-1-2)=0

∵ a_n>0

∴ a_n-a_n-1=2

∴ {a_n}为公差为2的等差数列

在中，令n=1，a₁=1

∴ a_n=2n-1

　 (II)

∴

注：递推是学好数列的重要思想，例本题由4S_n=(a_n+1)²推出4S_n-1=(a_n-1+1)²，它其实就是函数中的变量代换法。在数列中一般用n-1，n+1等去代替n，实际上也就是说已知条件中的递推关系是关于n的恒等式，代换就是对n赋值。

例4、等差数列{a_n}中，前m项的和为77(m为奇数)，其中偶数项的和为33，且a₁-a_m=18，求这个数列的通项公式。

分析：

利用前奇数项和和与中项的关系

令m=2n-1，n∈N₊

则

∴

∴ n=4

∴ m=7

∴ a_n=11

∴ a₁+a_m=2a_n=22

又a₁-a_m=18

∴ a₁=20，a_m=2

∴ d=-3

∴ a_n=-3n+23

例5、设{a_n}是等差数列，，已知b₁+b₂+b₃=，b₁b₂b₃=，求等差数列的通项a_n。

解题思路分析：

∵ {a_n}为等差数列

∴ {b_n}为等比数列

从求解{b_n}着手

∵ b₁b₃=b₂²

∴ b₂³=

∴ b₂=

∴

∴ 　或

∴ 　或

∵

∴

∴ a_n=2n-3 或 a_n=-2n+5

注：本题化归为{b_n}求解，比较简单。若用{a_n}求解，则运算量较大。

例6、已知{a_n}是首项为2，公比为的等比数列，S_n为它的前n项和，

(1)用S_n表示S_n+1；

(2)是否存在自然数c和k，使得成立。

　　 解题思路分析：

　 (1)∵

∴

　 (2)(*)

∵

∴

∴ 式(*)　　　 ①

∵ S_k+1>S_k

∴

又S_k<4

∴ 由①得：c=2或c=3

当c=2时

∵ S₁=2

∴ k=1时，c<S_k不成立，从而式①不成立

∵

∴ 由S_k<S_k+1得：

∴ 当k≥2时，，从而式①不成立

　 当c=3时，S₁2，S₂=3

∴ 当k=1，2时，C<S_k不成立

∴ 式①不成立

∵

∴ 当k≥3时，，从而式①不成立

综上所述，不存在自然数c，k，使成立

例7、某公司全年的利润为b元，其中一部分作为资金发给n位职工，资金分配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相等)从大到小，由1到n排序，第1位职工得资金元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将资金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金。

　 (1)设a_k(1≤k≤n)为第k位职工所得资金额，试求a₂，a₃，并用k，n和b表示a_k(不必证明)；

　 (2)证明：a_k<a_k+1(k=1，2，…，n-1)，并解释此不等式关于分配原则的实际意义。

解题思路分析：

谈懂题意，理清关系，建立模型

第1位职工的奖金

第2位职工的奖金

第3位职工的奖金

……

第k位职工的奖金

　 (2)

此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”等原则。

例8、试问数列{}的前多少项的和最大，并求这个最大值(lg2=0.3010)

解题思路分析：

法一：

∴ {a_n}为首项为2，公差为的等差数列

∴

∵ n∈N₊

∴ n=14时，(S_n)_max=14.35

法二：∵ a₁=2>0，d=

∴ {a_n}是递减数列，且S_n必为最大值

设

∴

∴

∴ k=14

∴ (S_n)_max=S₁₄=14.35

同步练习

4、等差、等比数列的应用

　 (1)基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等；

　 (2)灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算；

　 (3)若{a_n}为等差数列，则{}为等比数列(a>0且a≠1)；

若{a_n}为正数等比数列，则{log_aa_n}为等差数列(a>0且a≠1)。

3、等比数列

(1)定义：=q(q为常数，a_n≠0)；a_n²=a_n-1a_n+1(n≥2，n∈N₊)；

(2)通项公式：a_n=a₁q^n-1，a_n=a_mq^n-m;

　　 前n项和公式：；

(3)性质

当m+n=p+q时，a_ma_n=a_pa_q，特例：a₁a_n=a₂a_n-1=a₃a_n-2=…，当2n=p+q时，a_n²=a_pa_q，数列{ka_n}，{}成等比数列。

2、等差数列

　 (1)定义，{a_n}为等差数列a_n+1-a_n=d(常数)，n∈N₊2a_n=a_n-1+a_n+1(n≥2，n∈N₊)；

　 (2)通项公式：a_n=a_n+(n-1)d，a_n=a_m+(n-m)d；

　　　　 前n项和公式：；

　 (3)性质：a_n=an+b，即a_n是n的一次型函数，系数a为等差数列的公差；

　　 S_n=an²+bn，即S_n是n的不含常数项的二次函数；

若{a_n}，{b_n}均为等差数列，则{a_n±n_n},{},{ka_n+c}(k，c为常数)均为等差数列；

当m+n=p+q时，a_m+a_n=a_p+a_q，特例：a₁+a_n=a₂+a­_n-1=a₃+a_n-2=…；当2n=p+q时，2a_n=a_p+a_q；

当n为奇数时，S_2n-1=(2n-1)a­_n；S_奇=a_中，S_偶=a_中。

1、数列，是按照一定顺序排列而成的一列数，从函数角度看，这种顺序法则就是函数的对应法则，因此数列可以看作是一个特殊的函数，其特殊性在于：第一，定义域是正整数集或其子集；第二，值域是有顺序的，不能用集合符号表示。

研究数列，首先研究对应法则--通项公式：a_n=f(n)，n∈N₊，要能合理地由数列前n项写出通项公式，其次研究前n项和公式S_n：S_n=a₁+a₂+…a_n，由S_n定义，得到数列中的重要公式：。

一般数列的a_n及S_n,，除化归为等差数列及等比数列外，求S_n还有下列基本题型：列项相消法，错位相消法。

2、一般数列的通项及前n项和计算。

1、等差数列及等比数列的定义，通项公式，前n项和公式及性质；

(三)解答题

14、已知y=2x是△ABC中∠C平分线所在直线方程，A(-4，2)，B(3，1)，求点C坐标，并判断△ABC形状。

15、已知n条直线：x-y+c_i=0(i=1，2，…，n)，其中C₁=，C₁<C₂<C₃<…<C_n，且每相邻两条之间的距离顺次为2，3，4，…，n，(1)求C_n；(2)求x-y+C_n=0与坐标轴围成的三角形面积：(3)求x-y+C_n-1=0与x-y+C_n=0与x轴、y轴围成的图形面积。

16、已知与曲线C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线l交x、y轴于A、B两点，O为原点，|OA|=a，|OB|=b，a>2，b>2，(1)求证：(a-2)(b-2)=2；(2)求线段AB中点的轨迹方程；(3)求△AOB面积的最小值。

17、已知两圆x²+y²=4和x²+(y-8)²=4，(1)若两圆分别在直线y=x+b两侧，求b取值范围；(2)求过点A(0，5)且和两圆都没有公共点的直线的斜率k的范围。

18、当0<a<2时，直线l₁：ax-2y-2a+4=0与l₂：2x+a²y-2a²-4=0和坐标轴成一个四边形，要使围成的四边形面积最小，a应取何值？

(二)填空题

　　 9、直线ax+by+c=0与直线dx+ey+c=0的交点为(3，-2)，则过点(a，b)，(d，e)的直线方程是___________________。

10、已知{(x，y)|(m+3)x+y=3m-4}∩{(x，y)|7x+(5-m)y-8=0}=φ，则直线(m+3)x+y=

3m+4与坐标轴围成的三角形面积是__________________。

11、已知x，y满足，则x-y的最大值为________，最小值为________。

12、过点A(2，1)，且在坐标轴截距相等的直线方程是_________________。

13、已知圆：(x-1)²+y²=1，作弦OA，则OA中点的轨迹方程是__________________。