17.已知数列{a_n}满足：a₁＝，a₂＝，a_n+1＝2a_n－a_n－1(n≥2，n∈N^*)，数列{b_n}满足b₁＜0,3b_n－b_n－1＝n(n≥2，n∈N^*)，数列{b_n}的前n项和为S_n.

(1)求数列{a_n}的通项a_n；

(2)求证：数列{b_n－a_n}为等比数列.

解：(1)证明∵2a_n＝a_n+1+a_n－1(n≥2，n∈N^*)，

∴{a_n}是等差数列.

又∵a₁＝，a₂＝，∴a_n＝+(n－1)·＝，

(2)证明：∵b_n＝b_n－1+(n≥2，n∈N^*)，

∴b_n+1－a_n+1＝b_n+－＝b_n－

＝(b_n－)＝(b_n－a_n).

又∵b₁－a₁＝b₁－≠0，

∴{b_n－a_n}是以b₁－为首项，以为公比的等比数列.

16.(本小题满分12分)已知{a_n}是一个等差数列，且a₂＝1，a₅＝－5.

(1)求数列{a_n}的通项a_n；

(2)求{a_n}前n项和S_n的最大值.

解：(1)设{a_n}的公差为d，

由已知条件得，

所以a_n＝a₁+(n－1)d＝－2n+5.

(2)S_n＝na₁+d＝－n²+4n＝4－(n－2)².

所以n＝2时，S_n取到最大值4.

15.等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₄－a₂＝8，a₃+a₅＝26.记T_n＝，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，T_n≤M都成立，则M的最小值是　　.

解析：∵{a_n}为等差数列，由a₄－a₂＝8，a₃+a₅＝26，

可解得S_n＝2n²－n，

∴T_n＝2－，若T_n≤M对一切正整数n恒成立，则只需T_n的最大值≤M即可.

又T_n＝2－<2，∴只需2≤M，故M的最小值是2.

答案：2

14.“欢欢”按如图所示的规则练习数数，记在数数过程中对应中指的数依次排列所构成的数列为{a_n}，则数到2 008时对应的指头是　　，数列{a_n}的通项公式a_n＝　　.(填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指).

解析：注意到数1,9,17,25，…，分别都对应着大拇指，且1+8×(251－1)＝2 001，因此数到2 008时对应的指头是食指.对应中指的数依次是：3,7,11,15，…，因此数列{a_n}的通项公式是a_n＝3+(n－1)×4＝4n－1.

答案：食指　4n－1

13.已知数列{a_n}满足＝(n∈N^*)，且a₁＝1，则a_n＝　　.

解析：由已知得＝，

＝，…＝，a₁＝1，

左右两边分别相乘得

a_n＝1·····…···

＝

答案：

12.设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁＝1，S₆＝4S₃，则a₄＝　　.

解析：设等比数列的公比为q，则由S₆＝4S₃知q≠1.

∴S₆＝＝.∴q³＝3.∴a₁q³＝3.

答案：3

11．各项都是正数的等比数列{a_n}中，a₂，a₃，a₁成等差数列，则＝________.

解析：设{a_n}的公比为q(q＞0)，由a₃＝a₂+a₁，得q²－q－1＝0，解得

q＝.从而＝q＝.

答案：

10.已知等比数列{a_n}的各项均为不等于1的正数，数列{b_n}满足b_n＝lga_n，b₃＝18，b₆＝12，则数列{b_n}前n项和的最大值等于　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.126　　　　　 　B.130　　　　　　 C.132　 　　　　　　D.134

解析：由题意可知，lga₃＝b₃，lga₆＝b₆.

又∵b₃＝18，b₆＝12，则a₁q²＝10¹⁸，a₁q⁵＝10¹²，

∴q³＝10.

即q＝10，∴a₁＝10²².

又∵{a_n}为正项等比数列，

∴{b_n}为等差数列，且d＝－2，b₁＝22.

故b_n＝22+(n－1)×(－2)＝－2n+24.

∴S_n＝22n+×(－2)

＝－n²+23n＝－(n－)²+.

又∵n∈N^*，故n＝11或12时，

(S_n)_max＝132.

答案：C

第Ⅱ卷(非选择题，共100分)

9.数列{a_n}满足：a₁＝1，且对任意的m，n∈N^*都有：a_m+n＝a_m+a_n+mn，则+++…+＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.　 　　　　　B.　　　　　 C.　 　　　　　　D.

解析：因为a_n+m＝a_n+a_m+mn，则可得a₁＝1，a₂＝3，a₃＝6，a₄＝10，…，则可猜得数列的通项a_n＝，

∴＝＝2(－)，

∴+++…+＝

2(1－+－+…+－)＝2(1－)＝

答案：D

8.在函数y＝f(x)的图象上有点列{x_n，y_n}，若数列{x_n}是等差数列，数列{y_n}是等比数列，则函数y＝f(x)的解析式可能为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.f(x)＝2x+1 　　　B.f(x)＝4x² C.f(x)＝log₃x　 　　　　　D.f(x)＝()^x

解析：结合选项，对于函数f(x)＝()^x上的点列{x_n，y_n}，有y_n＝()x_n.由于{x_n}是等差数列，所以x_n+1－x_n＝d，因此＝＝()^x_n+1＝()^d，这是一个与n无关的常数，故{y_n}是等比数列.

答案：D