21．(本小题满分14分)(2010·长沙模拟)长沙市某棚户区改造

建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建

筑用地区域近似地为半径是R的圆面．该圆面的内接四边形

ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB＝AD＝4万米，

BC＝6万米，CD＝2万米．

(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；

(2)因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P；使得棚户区改造的新建筑用　 地APCD的面积最大，并求最大值．

解：(1)因为四边形ABCD内接于圆，

所以∠ABC+∠ADC＝180°，连接AC，由余弦定理：

AC²＝4²+6²－2×4×6×cos∠ABC

＝4²+2²－2×2×4cos∠ADC.

所以cos∠ABC＝，∵∠ABC∈(0，π)，

故∠ABC＝60°.

S_{四边形ABCD}＝×4×6×sin60°+×2×4×sin120°

＝8(万平方米)．

在△ABC中，由余弦定理：

AC²＝AB²+BC²－2AB·BC·cos∠ABC

＝16+36－2×4×6×.

AC＝2.

由正弦定理＝＝2R，

∴2R＝＝＝，

∴R＝(万米)．

(2)∵S_{四边形APCD}＝S_△ADC+S_△APC，

又S_△ADC＝AD·CD·sin120°＝2，

设AP＝x，CP＝y.

则S_△APC＝xy·sin60°＝xy.

又由余弦定理AC²＝x²+y²－2xycos60°

＝x²+y²－xy＝28.

∴x²+y²－xy≥2xy－xy＝xy.

∴xy≤28，当且仅当x＝y时取等号

∴S_{四边形APCD}＝2+xy≤2+×28＝9，

∴最大面积为9万平方米．

20．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝Asin(ωx+φ)+B(A＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：

x
y	-1	1	3	1	-1	1	3

(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；

(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)周期为，当x∈[0，]时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围；

解：(1)设f(x)的最小正周期为T，得

T＝ －(－)＝2π，

由T＝，得ω＝1.

又

令ω·+φ＝，即+φ＝，

解得φ＝－，

∴f(x)＝2sin(x－)+1.

(2)∵函数y＝f(kx)＝2sin(kx－)+1的周期为，

又k＞0，∴k＝3.

令t＝3x－，

∵x∈[0，]，

∴t∈[－，]

如图sint＝s在[－，]上有两个不同的解的充要条件是s∈[，1)，

∴方程f(kx)＝m在x∈[0，]时恰好有两个不同的解的充要条件是m∈[+1,3)，

即实数m的取值范围是[+1,3)．

19.(本小题满分12分)如图，点A，B是单位圆上的两点，A，B点分别在第一

、二象限，点C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB是正三角形，若点A的坐标

为(，)，记∠COA＝α.

(1)求的值；

(2)求|BC|²的值.

解：(1)∵A的坐标为(，)，根据三角函数的定义可知，

sinα＝，cosα＝，

∴＝＝.

(2)∵△AOB为正三角形，∴∠AOB＝60°.

∴cos∠COB＝cos(α+60°)＝cosαcos60°－sinαsin60°

＝×－×＝，

∴|BC|²＝|OC|²+|OB|²－2|OC|·|OB|cos∠COB

＝1+1－2×＝.

18.(本小题满分12分)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinA＝，sinB＝.

(1)求A+B的值；

(2)若a－b＝－1，求a、b、c的值.

解：(1)∵A、B为锐角，sinA＝，sinB＝，

∴cosA＝＝，

cosB＝＝，

∴cos(A+B)＝cosAcosB－sinAsinB

＝×－×＝.

∵0<A+B<π，∴A+B＝.

(2)由(1)知C＝，∴sinC＝.

由正弦定理＝＝得

a＝b＝c，即a＝b，c＝b，

∵a－b＝－1，∴b－b＝－1，∴b＝1，

∴a＝，c＝.

17.(本小题满分12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，tanA＝，cosB＝.

(1)求角C；

(2)若△ABC的最短边长是，求最长边的长.

解：(1)∵tanA＝，

∴A为锐角，则cosA＝，sinA＝.

又cosB＝，

∴B为锐角，则sinB＝，

∴cosC＝－cos(A+B)＝－cosAcosB+sinAsinB

＝－×+×＝－.

又C∈(0，π)，∴C＝π.

(2)∵sinA＝＞sinB＝，

∴A＞B，即a＞b，

∴b最小，c最大，

由正弦定理得＝，

得c＝·b＝·＝5.

16.(本小题满分12分)已知＝(cos+sin，－sin)，＝(cos－sin，2cos).

　(1)设f(x)＝ ·，求f(x)的最小正周期和单调递减区间；

(2)设有不相等的两个实数x₁，x₂∈，且f(x₁)＝f(x₂)＝1，求x₁+x₂的值.

解：(1)由f(x)＝·得

f(x)＝(cos+sin)·(cos－sin)+(－sin)·2cos

＝cos²－sin²－2sincos

＝cosx－sinx

＝cos(x+)，

所以f(x)的最小正周期T＝2π.

又由2kπ≤x+≤π+2kπ，k∈Z，

得－+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z.

故f(x)的单调递减区间是[－+2kπ，+2kπ](k∈Z).

(2)由f(x)＝1得cos(x+)＝1，故cos(x+)＝.

又x∈，于是有x+∈，得x₁＝0，x₂＝－，

所以x₁+x₂＝－.

15.下面有五个命题：

①函数y＝sin⁴x－cos⁴x的最小正周期是π；

②终边在y轴上的角的集合是{α|α＝，k∈Z}；

③在同一坐标系中，函数y＝sinx的图象和函数y＝x的图象有三个公共点；

④把函数y＝3sin(2x+)的图象向右平移个单位得到y＝3sin2x的图象；

⑤函数y＝sin(x－)在[0，π]上是减函数.

其中真命题的序号是　　.

解析：①y＝sin²x－cos²x＝－cos2x，故最小正周期为π，①正确；

②k＝0时，α＝0，则角α终边在x轴上，故②错；

③由y＝sinx在(0,0)处切线为y＝x，所以y＝sinx与y＝x的图象只有一个交点，故③错；

④y＝3sin(2x+)的图象向右平移个单位得到

y＝3sin[2(x－)+]＝3sin2x，故④正确；

⑤y＝sin(x－)＝－cosx在[0，π]上为增函数，故⑤错.

综上，①④为真命题.

答案：①④

14.设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且acosB－bcosA＝c.则的值为　　.

解析：由acosB－bcosA＝c及正弦定理可得sinAcosB－sinBcosA＝sinC，即sinAcosB－sinBcosA＝sin(A+B)，即5(sinAcosB－sinBcosA)＝3(sinAcosB+sinBcosA)，即sinAcosB＝4sinBcosA，因此tanA＝4tanB，所以＝4.

答案：4

13.已知函数f(x)＝2sin(ωx+φ)的图象如下图所示，则f()＝　　.

解析：由图象知，函数的周期为×T＝π，

∴T＝.

∵f()＝0，

∴f()＝f(+)

＝f(+)＝－f()＝0.

答案：0

12.已知扇形内切圆半径与扇形半径之比为1∶3，则内切圆面积与扇形面积之比为　　.

解析：如图，设内切圆半径为r，则扇形的半径为3r，计算可

得扇形中心角为，

故S_内切圆∶S_扇形＝πr²∶·3r·(·3r)＝2∶3.

答案：2∶3