5．直线和抛物线

(1)位置关系：

相交(两个公共点或一个公共点)；相离(无公共点)；相切(一个公共点).

联立，得关于x的方程

当(二次项系数为零)，唯一一个公共点(交点)；

当，则

若，两个公共点(交点)；

，一个公共点(切点)；

，无公共点　 (相离).

(2)相交弦长：

弦长公式：.

(3)焦点弦公式：

抛物线， .

抛物线， .

抛物线， .

抛物线，.

(4)通径：

定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦.　 通径：.

(5)常用结论：

和

和.

4．双曲线的通径：

定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦. 　.

3．双曲线的焦点弦：

定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦。

焦点弦公式：

当双曲线焦点在x轴上时，

过左焦点与左支交于两点时： ；

过右焦点与右支交于两点时：。

当双曲线焦点在y轴上时，

过左焦点与左支交于两点时：；

过右焦点与右支交于两点时：。

2．双曲线的焦半径

定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径.

焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：

焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式：

 　　( 其中分别是双曲线的下上焦点)

1．椭圆的焦半径公式：(左焦半径),(右焦半径),其中是离心率。 焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式： ( 其中分别是椭圆的下上焦点).

焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关.　 可以记为：左加右减，上减下加.

2．直线∶Ax+B+C=0与圆锥曲线C∶f(x，y)＝0的位置关系：

直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：

设直线:Ax+By+C=0,圆锥曲线C:f(x,y)=0,由

消去y(或消去x)得:ax²+bx+c=0,△=b²-4ac,(若a≠0时)，

△＞0相交　　　 △＜0相离　　　 △= 0相切

注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．

1．　 点M(x₀，y₀)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系

已知(a＞b＞0)的焦点为F₁、F₂, (a＞0,b＞0)

的焦点为F₁、F₂，(p＞0)的焦点为F，一定点为P(x₀，y₀)，M点到抛物线的准线的距离为d，则有：

上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明．

6.线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)(m>0)，端点A、B到x轴距离之积为，以x轴为对称轴，过A，O，B三点作抛物线.

(1)求抛物线方程；

(2)若的取值范围.

§7.3　 点、直线和圆锥曲线

5.已知抛物线方程为，直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值．

4.已知椭圆的离心率为.(1)若圆(x-2)²+(y-1)²=与椭圆相交于A、B两点且线段AB恰为圆的直径，求椭圆方程；(2)设L为过椭圆右焦点F的直线，交椭圆于M、N两点，且L的倾斜角为60⁰，求的值.