3.圆锥曲线的统一定义

平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.

其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率.

当0＜e＜1时，轨迹为椭圆

当e=1时，轨迹为抛物线

当e＞1时，轨迹为双曲线

2.点与曲线的关系　 若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P₀(x₀,y₀)在曲线C上f(x₀,y₀)=0；

点P₀(x₀,y₀)不在曲线C上f(x₀,y₀)≠0两条曲线的交点　 若曲线C₁，C₂的方程分别为f₁(x,y)=0,f₂(x,y)=0,则点P₀(x₀,y₀)是C₁，C₂的交点

方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.

1.方程的曲线

在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.

9．设曲线C的方程是y＝x³-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t,s单 位长度后得曲线C₁.

　(1)写出曲线C₁的方程；

　(2)证明曲线C与C₁关于点A()对称；

(3)如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s＝且t≠0.

§7.4轨迹问题

5． 如图，过抛物线y²=4x的顶点O作任意两条互相垂直的弦OM、ON，求(1)MN与x轴交点的坐标；(2)求MN中点的轨迹方程.

4． 设过原点的直线l与抛物线y²=4(x－1)交于A、B两点，且以AB为直径的圆恰好过抛物线的焦点F，

　　 (1)求直线l的方程；

　　 (2)求|AB|的长.

3．

试求m的取值范围.

2.直线m：y=kx+1和双曲线x²－y²=1的左支交于A、B两点，直线l过点P(－2，0)和线段AB的中点，则直线l在y轴上的截距b的取值范围为　　　　　　

1．顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线l：y=2x+1截得的弦长为，则抛物线方程为　　　　　

[例1]求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点.

错解： 设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为

，消去得整理得　

直线与抛物线仅有一个交点，解得所求直线为

正解： 　①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切.②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点.③一般地，设所求的过点的直线为,则，

令解得k = ,∴ 所求直线为

综上，满足条件的直线为：

[例2]已知曲线C：与直线L：仅有一个公共点，求m的范围.

错解：曲线C：可化为①，联立，得：

，由Δ＝0,得.

错因：方程①与原方程并不等价，应加上.

正解：原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.(如图)，结合图形易求得m的范围为.

注意：在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样才不会出错.

[例3]已知双曲线，过P(1,1)能否作一条直线L与双曲线交于A、B两点，且P为AB中点.

错解：(1)过点P且与x轴垂直的直线显然不符合要求.

(2)设过P的直线方程为，代入并整理得：

∴，又∵ ∴

解之得：k=2，故直线方程为：y=2x-1,即直线是存在的.

正解：接以上过程，考虑隐含条件“Δ>0”，当k=2时代入方程可知Δ<0，故这样的直线不存在.

[例4]已知A、B是圆与x轴的两个交点，CD是垂直于AB的动弦，直线AC和DB相交于点P，问是否存在两个定点E、F, 使 | | PE |－| PF | | 为定值？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由.

解：由已知得 A (－1, 0 )、B ( 1, 0 ),

　 设 P ( x, y ),　 C ( ) ,　 则 D (),

　 由A、C、P三点共线得　 　　①

　 由D、B、P三点共线得　 　　②

①×② 得　 　　　　　　③

又 ,　 ∴，　 代入③得 ，

即点P在双曲线上， 故由双曲线定义知，存在两个定点E (－, 0 )、

F (, 0 )(即此双曲线的焦点)，使 | | PE |－| PF | | = 2　 (即此双曲线的实轴长为定值).

[例5]已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1 与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，｜PQ｜=，求椭圆的方程.

解：设所求椭圆的方程为=1.

　依题意知，点P、Q的坐标满足方程组：

　将②代入①，整理得

　　　 ，　　　　　　　　　 ③

设方程③的两个根分别为、，则直线y=x+1和椭圆的交点为

P(,+1)，Q(,+1)

　由题设OP⊥OQ，｜OP｜=，可得

　整理得

　解这个方程组，得

　 或 　

　根据根与系数的关系，由③式得

　　 (1)　 或　 (2)

　解方程组(1)、(2)得

　　 　 或

　故所求椭圆方程为

　=1 ，　 或 =1.

[例6]已知椭圆C₁：＝1，抛物线C₂：，且C₁、C₂的公共弦AB过椭圆C₁的右焦点。(1)当AB⊥轴时，求、的值，并判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；(2)若＝，且抛物线C₂的焦点在直线AB上，求的值及直线AB的方程.

解：(1)当AB⊥轴时，点A、B关于轴对称，所以＝0，直线AB的方程为＝1，

　从而点A的坐标为(1，)或(1，－)，

　因为点A在抛物线上，所以，＝.

　此时，抛物线C₂的焦点坐标为(，0)，该焦点不在直线AB上.

　(2)当抛物线C₂的焦点在直线AB上时，由(1)知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为　.

　由消去得　　①

设A、B的坐标分别为　()、().

则，是方程①的两根，+＝.

因为AB既是过C₁的右焦点的弦，又是C₂的焦点的弦，

所以｜AB｜＝(2－)+(2－)＝4－，且

｜AB｜＝()+()＝＝.

从而＝4－

所以，即

解得.

因为C₂的焦点F^、()在直线上，所以，

即

当时直线AB的方程为；

当时直线AB的方程为.