8. 不等式log(x+x+3)>log(x+2)的解是____________。

7. 函数y＝+的值域是____________。

6. 已知点M(3cosx，3sinx)、N(4cosy，4siny)，则|MN|的最大值为_________。

5. 已知长方体ABCD-A’B’C’D’中，AA’＝AD＝1，AB＝，则顶点A到截面A’BD的距离是_______。

4. (a+b+c)展开式的项数是_____。

　 A.　 11　　 B.　 66　　 C.　 132　　 D.　 3

3. [－]　 (n∈N)的值为______。

　 A. 　　B. 　　　C.　 0　　　 D.　 1

2. 函数f(x)＝|lgx|，若0<a<b时有f(a)>f(b)，则下列各式中成立的是_____。

　 A.　 ab≤1　　 B.　 ab<1　　 C.　 ab>1　　 D.　 a>1且b>1

1. 正方形ABCD与正方形ABEF成90°的二面角，则AC与BF所成的角为_____。

　 A.　 45°　　 B.　 60°　　 C.　 30°　　 D.　 90°

6. 已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，D为AB的中点，E为AC的中点，则四棱锥S-BCED的体积为_____。

　 A.　 　　B. 10　　　 C. 　　　　D.

[简解]1小题：由已知转化为周期为2,所以f(7.5)＝f(-0.5)＝－f(0.5)，选B；

2小题：设f(x)＝y，由互为反函数的值域与定义域的关系，选C；

3小题：由mp+nq≤+容易求解，选A；

4小题：由复数模几何意义利用数形结合法求解，选A；

5小题：ab＝×，变形为12e－31e+7＝0，再解出e，选B；

6小题：由S＝S和三棱椎的等体积转化容易求，选A。

Ⅱ、示范性题组：

例1. 若x、y、z∈R且x+y+z＝1，求(－1)( －1)( －1)的最小值。

[分析]由已知x+y+z＝1而联想到，只有将所求式变形为含代数式x+y+z，或者运用均值不等式后含xyz的形式。所以，关键是将所求式进行合理的变形，即等价转化。

[解](－1)( －1)( －1)＝(1－x)(1－y)(1－z)

＝(1－x－y－z+xy+yz+zx－xyz)＝(xy+yz+zx－xyz)

＝++－1≥3－1＝－1≥－1＝9

[注]对所求式进行等价变换：先通分，再整理分子，最后拆分。将问题转化为求++的最小值，则不难由平均值不等式而进行解决。此题属于代数恒等变形题型，即代数式在形变中保持值不变。

例2. 设x、y∈R且3x+2y＝6x，求x+y的范围。

[分析] 设k＝x+y，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k范围的问题。其中要注意隐含条件，即x的范围。

[解]由6x－3x＝2y≥0得0≤x≤2。

设k＝x+y，则y＝k－x，代入已知等式得：x－6x+2k＝0　 ，

即k＝－x+3x，其对称轴为x＝3。

由0≤x≤2得k∈[0,4]。

所以x+y的范围是：0≤x+y≤4。

[另解] 数形结合法(转化为解析几何问题)：

由3x+2y＝6x得(x－1)+＝1，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。x+y的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为x+y＝k，代入椭圆中消y得x－6x+2k＝0。由判别式△＝36－8k＝0得k＝4,所以x+y的范围是：0≤x+y≤4。

[再解] 三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元(转化为三角问题)：

由3x+2y＝6x得(x－1)+＝1，设，则

x+y＝1+2cosα+cosα+sinα＝1++2cosα－cosα

＝－cosα+2cosα+∈[0,4]

所以x+y的范围是：0≤x+y≤4。

[注]本题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能力。此题还可以利用均值换元法进行解答。各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型。

例3. 求值：ctg10°－4cos10°　

[分析]分析所求值的式子，估计两条途径：一是将函数名化为相同，二是将非特殊角化为特殊角。

[解一]ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝

＝＝

＝＝＝＝

(基本过程：切化弦→通分→化同名→拆项→差化积→化同名→差化积)

[解二]ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝

＝＝

＝＝

＝＝＝

(基本过程：切化弦→通分→化同名→特值代入→积化和→差化积)

[解三]ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝

＝＝

＝＝

＝＝

(基本过程：切化弦→通分→化同名→拆角80°→和差角公式)

[注]无条件三角求值问题，是高考中常见题型，其变换过程是等价转化思想的体现。此种题型属于三角变换型。一般对，对于三角恒等变换，需要灵活运用的是同角三角函数的关系式、诱导公式、和差角公式、倍半角公式、和积互化公式以及万能公式，常用的手段是：切割化弦、拆角、将次与升次、和积互化、异名化同名、异角化同角、化特殊角等等。对此，我们要掌握变换的通法，活用2公式，攻克三角恒等变形的每一道难关。

例4. 已知f(x)＝tgx，x∈(0, )，若x、x∈(0, )且x≠x，

求证：[f(x)+f(x)]>f()　　 (94年全国高考)

[分析]从问题着手进行思考，运用分析法，一步步探求问题成立的充分条件。

[证明][f(x)+f(x)]>f()　 　[tgx+tgx]>tg

(+)> 　>

　1+cos(x+x)>2cosxcosx 　1+cosxcosx+sinxsinx>2cosxcosx

　cosxcosx+sinxsinx<1 　cos(x－x)<1

由已知显然cos(x－x)<1成立，所以[f(x)+f(x)]>f()

S A　　　　　 M 　 　 D　　 N　　　 C 　 B

[注] 本题在用分析法证明数学问题的过程中，每一步实施的都是等价转化。此种题型属于分析证明型。

例5. 如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上，M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成角等于∠NSC。求证：SC垂直于截面MAB。(83年全国高考)

[分析] 由三垂线定理容易证明SC⊥AB，再在平面SDNC中利用平面几何知识证明SC⊥DM。

[证明]由已知可得：SN⊥底面ABC，AB⊥CD，CD是斜线SC在底面AB的射影，

∴ AB⊥SC。

∵ AB⊥SC、AB⊥CD

∴ AB⊥平面SDNC

∴ ∠MDC就是截面MAB与底面所成的二面角

由已知得∠MDC＝∠NSC

又∵ ∠DCM＝∠SCN

∴ △DCM≌△SCM

∴ ∠DMC＝∠SNC＝Rt∠

即 SC⊥DM

所以SC⊥截面MAB。

[注]立体几何中有些问题的证明，可以转化为平面几何证明来解决，即考虑在一个平面上的证明时运用平面几何知识。

Ⅲ、巩固性题组：

5. 设椭圆+＝1 (a>b>0)的半焦距为c，直线l过(0,a)和(b,0)，已知原点到l的距离等于c，则椭圆的离心率为_____。

　 A. 　　　B. 　　　　C. 　　　　D.