(七)转化思想

数学问题的求解过程，实际上就是问题的转化过程。它主要体现在条件由“隐”转化为“显”，结论由“暗”转化为“明”，即从陌生向熟悉、复杂向简单、间接向直接的过程。

[例7] 设圆满足：① 截轴所得弦长为2；② 被轴分成两段圆弧，其弧长的比为，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线：的距离最小的圆的方程。

解：设圆的圆心为P()，半径为，由①知；由②知，圆P截轴所得劣弧对应的圆心角为，即圆P截轴所得的弦长为，故有，消去得圆心的轨迹为：

如何求圆心P()到直线：的距离的最小值，这样转化为从不同角度求条件最值问题。

转化1：变量替换求最值

∵ 　　∴

设，则有，解得，，所以有

=

当且仅当，即时，达到最小值。此时可求得或

由于，故。于是所求圆的方程是：

或

转化2：三角代换求最值

令，

则，

所以

由，得

当达到最小值时，=1，从而，并由此解得或

即或，以下同解法1

转化3：判别式法求最值

由得，即 ①

将代入①式，整理得　 ②

把它看作的一元二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即

，得，所以

将代入②，得

解得

从而，由，知与同号

于是，所求圆的方程为：或

[模拟试题](答题时间：60分钟)

1. 已知椭圆，能否在此椭圆位于轴左侧的部分上找到一点M，使它到左准线的距离为它到两焦点、距离的等比中项？

2. 求证：椭圆的弦中点与椭圆中心连线的斜率(两斜率均存在时)与此弦的斜率之积为。

3. 一椭圆长短轴平行于坐标轴，与直线相切于点P(4，3)，它还经过点Q()，R()，求椭圆方程。

4. 两个不同的点P、Q在曲线上移动，不管如何选择其位置，它们总不能关于直线对称，求的范围。

5. 过抛物线的焦点F的直线与该抛物线交于A、B两点，若AB的中点为M，直线的斜率为。

(1)试用表示点M的坐标；

(2)若直线的斜率，且点M到直线：的距离为，试确定实数的取值范围。

6. 已知椭圆()，A、B是椭圆上两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点P()，求证：。

(六)参数思想

处理圆锥曲线问题，可以通过引入参变量替换，使许多相关或不相关的量统一在参变量下，其妙处在于减少未知量的个数或转化原命题的结构，以达到简化解题过程的目的。

[例6] 当为何实数时，椭圆与曲线C：有公共点？

解：椭圆方程变形为：　

设，即代入曲线C得：

，即(1)

椭圆与曲线C有交点，等价于方程(1)有解，即等价于函数的值域

所以

因为，所以的取值范围是

(五)函数思想

对于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便。

[例5] 直线：和双曲线的左支交于A、B两点，直线过P()和AB线段的中点M，求在轴上的截距的取值范围。

解：由消去得，由题意，有：

设M()，则

由P()、M()、Q()三点共线，可求得

设，则在上为减函数。

所以，且

所以　　 所以或

(四)方程思想

把圆锥曲线问题中的解析式看作一个方程，通过解方程的手段或对方程的研究，使问题得到解决，这种思想方法在解析几何试题中经常使用。

[例4] 已知双曲线C：，设该双曲线上支的顶点为A，且上支与直线相交于P点，一条以A为焦点，M()为顶点，开口向下的抛物线通过点P，设PM的斜率为，且，求实数的取值范围。

解：由双曲线方程知A(0，1)，则抛物线方程为，由双曲线与直线相交，解得点P的坐标为，又因为点P在抛物线上，所以

　 ①

而MP的斜率为，所以

将代入①，得，即 ②

根据题意，方程②在区间上有实根

令，其对称轴方程为

所以　 所以实数的取值范围为

(三)整体思想

对有些圆锥曲线问题，注意其整体结构特点，设法将问题整体变形转化，以达到避免一些不必要的运算，降低解题难度。

[例3] 从椭圆外一点P(2，4)作椭圆的切线，求两切线的夹角。

解：由椭圆的切线方程知两切线的方程为：

又切线过点P(2，4)，所以，整理得，

所以，

所以

所以两切线的夹角

(二)补集思想

有些圆锥曲线问题，从正面处理较难，常需分类讨论，运算量大，且讨论不全又容易出错，如用补集思想考虑其对立面，可以达到化繁为简的目的。

[例2] 为何值时，直线：不能垂直平分抛物线的某弦。

解：设，直线垂直平分抛物线的某弦。若直线垂直平分抛物线的弦AB，且A，B，则，

上述两式相减得：

即

又设M是弦AB的中点，且，则

因为点M在直线上，所以

由于M在抛物线的内部，所以，即

故原命题中的取值范围是或

(一)极端思想

通过考察圆锥曲线问题的极端元素，灵活地借助极限状态解题，则可以避开抽象及复杂运算，优化解题过程，降低解题难度。这是简化运算量的一条重要途径。

[例1] 求已知离心率，过点(1，0)且与直线：相切于点()，长轴平行于轴的椭圆方程。

解：把点()看作离心率的椭圆(“点椭圆”)，则与直线：相切于该点的椭圆系即为过直线与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程为：

又由于所求的椭圆过点(1，0)，代入上式得，

因此，所求椭圆方程为：

1. 重点：

圆锥曲线的综合问题。

　 2. 难点：

灵活运用介绍的几种数学思想简化圆锥曲线的运算。

[典型例题]

　　 专题(一)简化圆锥曲线运算的几种数学思想

22、(本题满分12分)

已知在的展开式中,第二项的二项式系数与第三项的二项式系数之比为2∶9.

(1)　 求n的值.

(2)　 求展开式中所有项的系数之和.

(3)　 求展开式中的常数项.

云南省玉溪市华培外语实验学校高二下学期第二次月考