582. 如图，在正方体ABCD--A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是B₁D₁，A₁B的中点，求证：EF∥AD₁。

解析：要证两条直线平行一是证这两条直线在同一平面内，再用平面几何知识证明它们平行；二是用平行公理即平行直线的传递性，找到与它们都平行的“公共”直线。

这里E为D₁B₁的中点，易想到用构造三角形的中位线的方法直接证明平行。因此，连AB₁是非常重要的步骤。

证明：连AB₁，则AB₁过A_­1B的中点F。

　　 又E为D₁B₁的中点，

　　 ∴EF为△AD₁B₁的中位线，

　　 则EF∥AD₁

581. 已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点。(1)如图(甲)中，F、G分别是BC、CD的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)如图(乙)中，若F是BC上的点，G是DC上的点，且，求证：四边形EFGH是梯形，并且直线EF、GH、AC共点。

证明：(1)如图(甲)，连结BD。

　　　 ∵EH是的△ABD中位线，

　　　 ∴EHBD，同理FGBD

　　　 根据公理4，EHFG

　　　 ∴四边形EFGH是平行四边形。

(2)如图(乙)由(1)知EHBD，又在△ABD中，

　　 ∴FG∥BD，FG=BD

　　 由公理4，∴EH∥FG，又FG>EH。

　　 ∴四边形EFGH是梯形。

　　 则直线EF、GH相交，设EF∩GH=P

　　 则P∈EF，又EF平面ABC

　　 ∴P∈平面ABC，同理P∈平面ADC。

　　 又平面ABC∩平面ADC=AC

　　 由公理2，得P∈AC，

　　 即EF、GH、AC三条直线共点。

点评：证明四边形是平行四边形或者梯形，首先必须证明它是平面图形，本题中的EH∥FG是关键

580. 求证：空间四边形的两条对角线是异面直线。

证明：如图，假设空间四边形ABCD的对角线AC与BD不是异面直线。

则AC、BD共面于α，则A、B、C、D均在平面α内，这与已知“ABCD是空间四边形(四个顶点不在同一平面内)”相矛盾。

故假设错误，因此AC、BD是异面直线。

点评：反证法是间接证法的一种，在立体几何的证中经

常用到。

579. 如图，在正方体ABCD--A₁B₁C₁D­₁中，E、F分别是AA₁、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：

　　 (1)AB与CC₁；(2)A₁B₁与DC；

(3)A₁C与D₁B；(4)DC与BD₁；

(5)D₁E与CF

解析：(1)∵C∈平面ABCD，AB平面ABCD

　　　　 又CAB，C₁平面ABCD

　　　　 ∴AB与CC₁异面

(2)∵A₁B₁∥AB，AB∥DC，∴A₁B₁∥DC

(3)∵A₁D₁∥B₁C₁，B₁C₁∥BC，∴A₁D₁∥BC

　　 则A₁、B、C、D₁在同一平面内

　　 ∴A₁C与D₁B相交

(4)∵B∈平面ABCD，DC平面ABCD

　　 又BDC，D₁平面ABCD

　　 ∴DC与BD₁异面

(5)如图，CF与DA的延长线交于G，连结D₁G，

　　 ∵AF∥DC，F为AB中点，

　　 ∴A为DG的中点，又AE∥DD₁，

　　 ∴GD₁过AA₁的中点E，

　　 ∴直线D₁E与DF相交

578. 正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，若E、M、N分别是棱AB、BC及B₁D₁的中点，求异面直线DN与MC₁所成的角。

解析：连NG、EM、EN、DE

∵ EMAC，NC₁AC

∴ NC₁EM

∴ NE∥MC₁

∴ ∠DNE为异面直线DN与MC₁所成的角

设AB=a，则DE=EN=GM=，DN=

△　　　　　　　 DNE中，cos∠DNE=

∴ 异面直线DN与MC₁所成的角为arccos.

577. 长方体ABCD-A’B’C’D’中，AB=2，BC=BB’=1，M、N分别是AD和BC中点，求异面直线MN和BC’所成角的大小

解析：∵MN∥AC，AC∥A’C’，∴MN∥A’C’

∴ ∠BC’A’就是MN与BC’所成的角

△　　　　　　　 BA’C中，BC’=，BA’=A’C’=

∴ cos∠BC’A’=

576. M、N分别是空间四边形ABCD中AB、CD中点，求证：MN<(AD+BC)。

证明：取AC中点P，则MP=BC，NP=AD

∴ MN<MP+NP=(BC+AD)

575. 长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a，BC=b，AA₁=c，求异面直线BD₁和B₁C所成角的余弦值。

解析：显然，通过平移在长方体的表面及内部不可能构造出一个BD₁和B₁C所成的角，但同时又为了使构造出的角便于计算，故可考虑补上一个与已知长方体相同的长方体DCEF-D₁C₁E₁F₁。具体作法是：延长A₁D₁，使A₁D₁=D₁F₁，延长B₁C₁至E₁，使B₁C₁=C₁E₁，连E₁F₁，分别过E₁、F₁，作E₁EC₁C，F₁FD₁D，连EF，则长方体C₁D₁F₁E-CDFE为所作长方体。

∵ BCD₁F₁

∴ BD₁CF₁

∴ ∠B₁CF₁就是异面直线BD₁与B₁C所成的角。

∵ BD²=a²+b²

∴ Rt△BDD₁中，BD₁²=BD²+DD₁²=a²+b²+c²

∴ CF₁²=BD₁²=a²+b²+c²

∵ B₁C²=b²+c²，B₁F₁²=a²+4b²

∴ △B₁CF₁中

　 cos∠B₁CF₁=

(1)　　　　　 当c>b时， cos∠B₁CF₁>0

　∴ ∠B₁CF₁为锐角，∠B₁CF₁就是异面直线BD₁和B₁C所成的角

(2)　　　　　 当c<b时，cos∠B₁CF₁<0

∴ ∠B₁CF₁是钝角

∴ π-∠B₁CF₁就是异面直线BD₁和B₁C所成的角

(3)　　　　　 当c=b时，∠B₁CF₁=90⁰

∴ BD₁⊥B₁C

法二：作异面直线所成角的过程，其实就是平移异面直线的过程。借助于三角形中位线的平行性，也可以达到平移的目的。

如图，分别取BC、BB₁、B₁D₁的中点P、M、Q，连PM、MQ、PQ

则 MP∥B₁C，MQ∥BD₁

∴ ∠PMQ(或其补角)就是异面直线BD₁与B₁C所成的角

△　　　　　　　 PMQ中，MP=B₁C=

△　　　　　　　 MQBD₁=，PQ=

利用余弦定理可以得到与解法一同样的结果

574. 空间四边形DABC中，P、Q为边CD上两个不同的点，M、N为AB上两个不同的点，连PM、QN，如图，问图中共有多少对异面直线？

解析：为使计算异面直线条数的过程中不出现重、漏的现象，可采用逐步添加的方法。首先考虑空间四边形DABC的四条边DA、AB、BC、CD连同对角线AC、BD，这六条线段可形成三对异面直线DA与BC，AB与CD，AC与BD。

其次添加线段PM，则除去与PM相交的CD、AB，又可新形成4对异面直线，即PM与DA、BC、AC、BD。

因QN与PM位置等同，当添上QN时，也同样新增4对异面直线。

最后注意到，PM与QN也是异面直线。

∴ 图中共有3+4+4+1=12(对)异面直线

573. 四棱锥V-ABCD底面是边长为4的菱形，∠BAD=120⁰，VA⊥底面ABCD，VA=3，AC与BD交于O，(1)求点V到CD的距离；(2)求点V到BD的距离；(3)作OF⊥VC，垂足为F，证明OF是BD与VC的公垂线段；(4)求异面直线BD与VC间的距离。

解析：用三垂线定理作点到线的垂线

在平面ABCD内作AE⊥CD，E为垂足

∵ VA⊥平面ABCD

∴ AE为VE在平面ABCD上的射影

∴ VE⊥CD

∴ 线段VE长为点V到直线CD的距离

∵ ∠BAD=120⁰

∴ ∠ADC=60⁰

∴ △ACD为正三角形

∴ E为CD中点，AE=

∴ VE=

　 (2)∵ AO⊥BD

∴ 由三垂线定理VO⊥BD

∴ VO长度为V到直线BD距离

　 VO=

　 (3)只需证OF⊥BD

　　 ∵ BD⊥HC，BD⊥VA

　　 ∴ BD⊥平面VAC

　　 ∴ BD⊥OF

　　 ∴ OF为异面直线BD与VC的公垂线

　 (4)求出OF长度即可

在Rt△VAC中

OC=AC=2，VC=

∴ OF=OC·sin∠ACF=OC·