（22）（本小题满分12分）
右图为一台冷轧机的示意图。冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出。
（Ⅰ）输入带钢的厚度为，输出带钢的厚度为，若每对轧辊的减薄率不超过问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？
（一对轧辊减薄率=）
（Ⅱ）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm。若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点间距为Lk。为了便于检修，请计算L1、L2、L3并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）
轧辊序号k
1
2
3
4
疵点间距Lk(单位:mm)
1600
解：（Ⅰ）厚度为的带钢经过减薄率均为的n对轧辊后厚度为
，为使输出带钢的厚度不超过，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足
即对上式两端取对数得
因此，至少需要安装不小于的整数对轧辊。
（Ⅱ）解一：第k对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积为
而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为
因宽度相等，且不考虑损耗，由体积相等得
即由此得
L3=2000（mm）,L2=2500(mm),L1=3125(mm)
填表如下：
轧辊序号k
1
2
3
4
疵点间距Lk(单位:mm)
3125
2500
2000
1600
解二：第三对轧辊出口疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有
所以，同理：
填表如下：
轧辊序号k
1
2
3
4
疵点间距Lk(单位:mm)
3125
2500
2000
1600
（23）（本小题满分14分）
已知函数的图象是自原点出发的一条折线。当时，该图象是斜率为的线段（其中正常数），设数列由定义。
（Ⅰ）求x1、x2和xn的表达式;
（Ⅱ）求的表达式，并写出其定义域;
（Ⅲ）证明：的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点。
解：（Ⅰ）依题意函数的图象是斜率为的线段，故由
又由的图象是斜率为的线段，
故由
记由函数图象中第n段线段的斜率为故得
由此知数列为等比数列，其首项为1，公比为
由，得
即
（Ⅱ）当从（Ⅰ）可知y=x，即当时，
当时，即当时，由（Ⅰ）可知
为求函数的定义域，须对进行讨论
当时，
当时，也趋向于无穷大。
综上，当时，的定义域为
当时，的定义域为
（Ⅲ）证一：首先证明当，时，恒有成立。
用数学归纳法证明：
(i)
由（Ⅱ）知当n=1时，在上，
所以成立。
（ii)假设n=k时在上，恒有成立。
可得
在上，
所以也成立。
由(i)与(ii)知对所有自然数n在上都有成立
即时,恒有
其次,当,仿上述证明,可知当时,恒有成立.
故的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点。
证二：首先证明当，时，恒有成立。
对任意的，存在，使，此时有
又
即有成立
其次，当,仿上述证明,可知当时,恒有成立.
故的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点。
（24）（本小题满分14分）
如图，给出定点A（0）（）和直线B是直线上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C。求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与值的关系。
y
B
C
O
A x
解：依题意，记B（-1，），
则直线OA和OB的方程分别为
设点C（x,y）则有，
由OC平分∠BOA，知点C到OA、OB距离相等。根据点到直线所距离公式得
①
依题设，点C在直线AB上，故有
由得 ②
将②式代入①式得
整理得
若，则
若，则，∠BOA=，点C的坐标为（0，0）满足上式
综上得点C的轨迹方程为
(i)当时，轨迹方程化为 ③
此时，方程③表示抛物线弧段;
(ii)当时，轨迹方程化为
④
所以，当时，方程④表示椭圆弧段;
当时，方程④表示双曲线一支的弧段。
一九九九年（文科）
（1）如图,I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是，则
（ C ）
（A）（MP）S
（B）（MP）S
（C）（MP）
（D）（MP）
（2）已知映射其中集合A={-3，-2，-1，1，2，3，4}集合B中的元素都是A中元素在映射下的象，且对任意的，在B中和它对应的元素是，则集合B中元素的个数是（ A ）
（A）4
（B）5 （C）6 （D）7
（3）函数的反函数是，则等于（A）
（B） （C） （D） （
A ）
（4）函数在区间上是增函数，且，，则函数上 （ C ）
（A）是增函数
（B）是减函数
（C）可以取得最大值M （D）可以取得最小值-M
（5）若是周期为的奇函数，则可以是 （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
（6）曲线关于
（ B ）
（A）直线轴对称 （B）直线轴对称
（C）点中心对称 （D）点中心对称
（7）若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm。若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是
（ B ）
（A）cm （B）6cm （C）cm （D）cm
（8）若
的值为
（ A ）
（A）1 （B）-1 （C）0 （D）2
（9）直线截圆得的劣弧所对的圆心角为
（A） （B）
（C）
（D）
（ C ）
E F
D
C
A
B
（10）如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，EF与面AC的距离为2，则多面体的体积为
（A） （B）5 （C）6 （D） （ D ）
（11）若
（ B ）
（A）（，）（B）（，0）（C）（0，）（D）（，）
（12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积比为1:2，那么R= （ D ）
（A）10 （B）15 （C）20 （D）25
（13）已知两点M（1，）、N（-4，-），给出下列曲线方程：
① ② ③ ④
其中与直线有交点的所有曲线是
（ D ）
（A）①③ （B）②④ （C）①②③
（D）②③④
（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘。根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有
（ C ）
（A）5种 （B）6种 （C）7种 （D）8种
（15）设椭圆的右焦点为F1，右准线为。若过F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到的距离，则椭圆的离心率是__________
答：
（16）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄。为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共用______种（用数字作答）
答：12
（17）若正数满足，则的取值范围是_______
答：
（18）是两个不同平面，是平面之外的两条不同直线，给出四个论断：
① ② ③ ④
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：__________
答：，，或，，
（19）（本小题满分10分）
解方程
解：设，则原方程化为
解得
因为，所以将舍去。
由得
所以
经检验，为原方程的解。
（20）（本小题满分12分）
数列的前n项和记为。已知求的值。
解：由
又由已知
于是
所以由
所以，数列是首项，公比的等比数列。
由此知数列是首项，公比的等比数列。
（21）（本小题满分12分）
设复数求函数最大值以及对应的值。
解:由
由得
故
当且仅当时,即时,上式取等号.
所以当时,函数取最大值
（22）（本小题满分12分）
如图,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,点E在棱D1D上,截面EAC∥D1B,且面EAC与底面ABCD所成的角为450,AB=.
D1
C1
A1
B1
E
P
Q
D
C
O
A
B
（Ⅰ）求截面EAC的面积;
（Ⅱ）求异面直线A1B1与AC之间的距离;
（Ⅲ）求三棱锥B1-EAC的体积。
（Ⅰ）解：如图，连结DB交AC于O，连结EO。∵底面ABCD是正方形，∴DO⊥AC
又∵ED⊥底面AC，∴EO⊥AC。
∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角，
∴∠EOD=450。DO=
故
（Ⅱ）解：由题设ABCD- A1B1C1D1是正四棱柱，得A1A⊥底面AC，
A1A⊥AC。又A1A⊥A1B1，
∴A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线。
∵D1B∥面EAC，且面D1BD与面EAC交线为EO，∴D1B∥EO。
又O是DB的中点，∴E是D1D的中点，D1B=2EO=2。
∴D1D=
异面直线A1B1与AC间的距离为
（Ⅲ）解：连结D1B1。∵D1D=DB=，∴BDD1B1是正方形。
连结B1D交D1B于P，交EO与Q
∵B1D⊥D1B，EO∥D1B，∴B1D⊥EO。
又AC⊥EO，AC⊥ED。∴AC⊥面BDD1B1，∴B1D⊥AC，∴B1D⊥面EAC
∴B1Q是三棱锥B1-EAC的高。
由DQ=PQ，得B1Q=
所以三棱锥B1-EAC的体积是
中，若
是
的中点，
C．
D．
中，若
，
,则公比应为 （ ）
D．
B．
，集合
，则下列关系中正确的是 （ ）