即当时，取得最大值为18.
解得
故当为6米，为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。
（25）（本小题满分12分）
已知数列是等差数列，
（Ⅰ）求数列的通项
（Ⅱ）设数列的通项，记是数列的前n项和.试比较与的大小，并证明你的结论.
解：（Ⅰ）设数列的公差为d，由题意得
（Ⅱ）由知
因此要比较与的大小，可先比较
的大小。
取n=1有
取n=2有
……
由此推测 ①
若①式成立，则由对数函数性质可断定：
＞.
下面用数学归纳法证明①式.
（i）当n=1时已验证①式成立.
（ii）假设当n=k（k≥1）时，①式成立，即
那么，当n=k+1时，
因而
就是说①式当n=k+1时也成立。
由（i）（ii）知①式对任何正整数n都成立。
因此证得＞.
一九九九年（理科）
（1）如图,I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是，则 （ C ）
（A）（MP）S
（B）（MP）S
（C）（MP）
（D）（MP）
（2）已知映射其中集合A={-3，-2，-1，1，2，3，4}集合B中的元素都是A中元素在映射下的象，且对任意的，在B中和它对应的元素是，则集合B中元素的个数是（ A ）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
（3）函数的反函数是，则等于（A） （B） （C） （D） （ A ）
（4）函数在区间上是增函数，且，，则函数上 （ C ）
（A）是增函数 （B）是减函数
（C）可以取得最大值M （D）可以取得最小值-M
（5）若是周期为的奇函数，则可以是 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（6）在极坐标系中，曲线关于 （ B ）
（A）直线轴对称 （B）直线轴对称
（C）点中心对称 （D）极点中心对称
（7）若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm。若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 （ B ）
（A）cm （B）6cm （C）cm （D）cm
（8）若
的值为 （ A ）
（A）1 （B）-1 （C）0 （D）2
（9）直线截圆得的劣弧所对的圆心角为
（A） （B） （C） （D） （ C ）
E F
D C
A B
（10）如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，EF与面AC的距离为2，则多面体的体积为 （ D ）
（A） （B）5 （C）6 （D）
（11）若 （ B ）
（A）（，）（B）（，0）（C）（0，）（D）（，）
（12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积比为1:2，那么R= （ D ）
（A）10 （B）15 （C）20 （D）25
（13）已知两点M（1，）、N（-4，-），给出下列曲线方程：
① ② ③ ④
在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是 （ D ）
（A）①③ （B）②④ （C）①②③ （D）②③④
（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘。根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有 （ C ）
（A）5种 （B）6种 （C）7种 （D）8种
（15）设椭圆的右焦点为F1，右准线为。若过F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到的距离，则椭圆的离心率是__________
答：
（16）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄。为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共用______种（用数字作答）
答：12
（17）若正数满足，则的取值范围是_______
答：
（18）是两个不同平面，是平面之外的两条不同直线，给出四个论断：
① ② ③ ④
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：__________
答：，，或，，
（19）（本小题满分10分）
解不等式
解：原不等式等价于
由(1)得由(2)得
由(3)得由此得
当时得所求的解集是;
当时得所求的解集是
（20）（本小题满分12分）
设复数求函数最大值以及对应的值。
解:由
由得
故
当且仅当时,即时,上式取等号.
所以当时,函数取最大值
由内正切函数是递增函数,
函数y也取最大值.
（21）（本小题满分12分）
如图,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,点E在棱D1D上,截面EAC∥D1B,且面EAC与底面ABCD所成的角为450,AB=.
A1 B1
E
P
Q
D C
O
A B
（Ⅰ）求截面EAC的面积;
（Ⅱ）求异面直线A1B1与AC之间的距离;
（Ⅲ）求三棱锥B1-EAC的体积。
（Ⅰ）解：如图，连结DB交AC于O，连结EO。∵底面ABCD是正方形，∴DO⊥AC
又∵ED⊥底面AC，∴EO⊥AC。
∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角，
∴∠EOD=450。DO=
故
（Ⅱ）解：由题设ABCD- A1B1C1D1是正四棱柱，得A1A⊥底面AC，
A1A⊥AC。又A1A⊥A1B1，
∴A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线。
∵D1B∥面EAC，且面D1BD与面EAC交线为EO，∴D1B∥EO。
又O是DB的中点，∴E是D1D的中点，D1B=2EO=2。
∴D1D=
异面直线A1B1与AC间的距离为
（Ⅲ）解：连结D1B1。∵D1D=DB=，∴BDD1B1是正方形。
连结B1D交D1B于P，交EO与Q
∵B1D⊥D1B，EO∥D1B，∴B1D⊥EO。
又AC⊥EO，AC⊥ED。∴AC⊥面BDD1B1，∴B1D⊥AC，∴B1D⊥面EAC
∴B1Q是三棱锥B1-EAC的高。
由DQ=PQ，得B1Q=
所以三棱锥B1-EAC的体积是
如图，直线和相交于点M，⊥，点以A，B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。
B
A
M O N x
解法一：如图建立坐标系，以为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点。依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点。
设曲线段C的方程为
其中分别为A，B的横坐标，
由得
由（1），（2）两式联立解得再将其代入（1）式并由解得
因为△AMN为锐角三角形，所以故舍去
由点B在曲线段C上，得
综上得曲线段C的方程为
y
F
A
D
M O E N x
解法二：如图建立坐标系，
以、为x、y轴，M为坐标原点.
作AE⊥，AD⊥，BF⊥，垂足分别为E、D、F.
设
依题意有
由于△AMN为锐角三角形，故有
设点是曲线段C上任一点，得由题意知P属于集合
故曲线段C的方程为
（23）（本小题满分12分）
已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=900，BC=2，AC=，且AA1⊥A1C，AA1=A1C.
（Ⅰ）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小;
（Ⅱ）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小;
（Ⅲ）求侧棱B1B和侧面A1ACC1的距离。
B1
D F
A C
E B
（Ⅰ）解：作A1D⊥AC，垂足为D，
由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC，∴∠A1AD为A1A与面ABC所成的角.∵AA1⊥A1C，AA1=A1C，
∴∠A1AD=450为所求。
（Ⅱ）解：作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB，
∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角.
由已知，AB⊥BC，得ED∥BC.
又D是AC的中点，BC=2，AC=，
∴DE=1，AD=A1D=，
故∠A1ED=600为所求。
（Ⅲ）作BF⊥AC，F为垂足，由面A1ACC1⊥面ABC，知BF⊥面A1ACC1
∵B1B∥面A1ACC1
∴BF的长是B1B和平面A1ACC1的距离。
连结HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB.
在Rt△ABC中，
∴为所求。
（24）（本小题满分12分）
B
2
如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱。污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。设箱体的长度为米，高度为米。已知流出的水中杂质的质量分数与的乘积成反比。现有制箱材料60平方米。问当各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）
解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则，其中k＞0为比例系数。依题意，即所求的值使y值最小。
根据题设，有
得
于是
当时取等号，y达到最小值
这时（舍去）
将代入（1）式得
故当为6米，为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。
解法二：即所求的值使最大
由题设知
即
当且仅当时，上式取等号.
由解得
即当时，取得最大值为18.
解得
故当为6米，为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。
（23）（本小题满分12分）
已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=900，BC=2，AC=，且AA1⊥A1C，AA1=A1C.
（Ⅰ）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小;
（Ⅱ）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小;
（Ⅲ）求顶点C到侧面A1ABB1的距离。
B1
H
D
A C
E B
（Ⅰ）解：作A1D⊥AC，垂足为D，
由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC，∴∠A1AD为A1A与面ABC所成的角.∵AA1⊥A1C，AA1=A1C，
∴∠A1AD=450为所求。
（Ⅱ）解：作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB，
∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角.
由已知，AB⊥BC，得ED∥BC.
又D是AC的中点，BC=2，AC=，
∴DE=1，AD=A1D=，
故∠A1ED=600为所求。
（Ⅲ）解法一：由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A1ABB1的距离。
连结HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB.
又A1E⊥AB，知HB∥A1E，且BC∥ED，∴∠HBC=∠A1ED=600.
∴CH=BC为所求.
解法二：连结A1B.
根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥C-A1AB的高h
由
即为所求.
（24）（本小题满分12分）
设曲线C的方程是将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1.
（Ⅰ）写出曲线C1的方程;
（Ⅱ）证明曲线C与C1关于点对称;
（Ⅲ）如果C与C1有且仅有一个公共点，证明
（Ⅰ）解：曲线C1的方程为
（Ⅱ）证明：在曲线C上任取一点B1（x1,y1).设B2（x2,y2)是B1关于点A的对称点，则有
代入曲线C的方程，得满足方程：
，
可知点B2（x2,y2)在曲线C1上.
反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A对称点在曲线C上.
因此，曲线C与C1关于点A对称。
（Ⅲ）证明：因为曲线C与C1有且仅有一个公共点，，所以，方程组有且仅有一组解。
消去y，整理得
这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根。
所以并且其根的判别式
（25）（本小题满分12分）
已知数列是等差数列，
（Ⅰ）求数列的通项
（Ⅱ）设数列的通项，记是数列的前n项和.试比较与的大小，并证明你的结论.
解：（Ⅰ）设数列的公差为d，由题意得
（Ⅱ）由知
因此要比较与的大小，可先比较
的大小。
取n=1有
取n=2有
……
由此推测 ①
若①式成立，则由对数函数性质可断定：
当时，＞.
当时，＜.
下面用数学归纳法证明①式.
（i）当n=1时已验证①式成立.
（ii）假设当n=k（k≥1）时，①式成立，即
那么，当n=k+1时，
因而
就是说①式当n=k+1时也成立。由（i）（ii）知①式对任何正整数n都成立。
因此证得：当时，＞.
当时，＜.
一九九八年（文科）
（1）的值是 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（2）函数的图象是 （ B ）
1
1 1
o x o x o x o x
（3）已知直线和圆相切，那么的值是
（A）5 （B）4 （C）3 （D）2 （ C ）
（4）两条直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件（ A ）
（A）A1A2+B1B2=0（B）A1A2-B1B2=0（C）（D）
（5）函数的反函数 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（6）已知点P在第一象限，则在内的取值范围是 （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 （ C ）
（A）1200 （B）1500 （C）1800 （D）2400
（8）复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（9）如果棱台的两底面积分别是S，S＇，中截面的面积是S0，那么 （ A ）
（A） （B）
（C） （D）
（10）2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体验，每校分配1名医生和2名护士。不同的分配方法共有 （ B ）
H h
（A）6种 （B）12种 （C）18种 （D）24种
（11）向高为H的水瓶中注水，注满
为止，如果注水量V与水深h的函数
关系的图象如右图所示，那么水瓶的
形状是 （ B ）
（12）椭圆的一个焦点为F1，点P在椭圆上。如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是 （ A ）
（A） （B） （C） （D）
（13）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（ B ）
（A） （B） （C）2 （D）
（14）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（15）等比数列的公比为，前n项和满足那么的值为 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（16）设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是__________
答：
（17）的展开式中的系数为______（用数字作答）
答：179
A1 D1
B1
C1
A D
B
C
(18)如图，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_______时，有A1C⊥B1D1.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）
答：AC⊥CD，（或ABCD是正方形，菱形等等）
（19）关于函数，
有下列命题：
①的表达式可改写成
②是以为最小正周期的周期函数;
③的图象关于点对称;
④的图象关于直线对称.
其中正确的命题的序号是________（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
答：①，③
（20）（本小题满分10分）
设，解关于x的不等式
解：将原不等式化为
移项，整理后得
，即
即
解此不等式，得解集
（21）（本小题满分11分）
在△ABC中，分别是接A，B，C的对边，设A-C=求的值。以下公式供解题时参考：
解：由正弦定理和已知条件得
由和差化积公式
由A+B+C=得
又A-C=得
（22）（本小题满分12分）
如图，直线和相交于点M，⊥，点以A，B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。
B
A
M O N x
解法一：如图建立坐标系，以为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点。依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点。
设曲线段C的方程为
其中分别为A，B的横坐标，
由得
由（1），（2）两式联立解得再将其代入（1）式并由解得
因为△AMN为锐角三角形，所以故舍去
由点B在曲线段C上，得
综上得曲线段C的方程为
y
F
A
D
M O E N x
解法二：如图建立坐标系，
以、为x、y轴，M为坐标原点.
作AE⊥，AD⊥，BF⊥，垂足分别为E、D、F.
设
依题意有
由于△AMN为锐角三角形，故有
设点是曲线段C上任一点，得由题意知P属于集合
故曲线段C的方程为
（22）（本小题满分12分）
B
2
如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱。污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。设箱体的长度为米，高度为米。已知流出的水中杂质的质量分数与的乘积成反比。现有制箱材料60平方米。问当各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）
解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则，其中k＞0为比例系数。依题意，即所求的值使y值最小。
根据题设，有
得
于是
当时取等号，y达到最小值
这时（舍去）
将代入（1）式得
故当为6米，为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。
解法二：即所求的值使最大
由题设知
即
当且仅当时，上式取等号.
由解得
D C
F
A B
G
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点。
（Ⅰ）证明AD⊥D1F;
（Ⅱ）求AE与D1F所成的角;
（Ⅲ）证明面AED⊥面A1FD1;
（Ⅳ）设AA1=2，求三棱锥E-AA1F的体积VE-AA1F.
解：（Ⅰ）∵AC1是正方体，
∴AD⊥面DC1，又D1F面DC1，
∴AD⊥D1F.
（Ⅱ）取AB中点G，连结A1G，FG
因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，
又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，
故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。
设A1G与AE相交与点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角。
因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，
∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=900，即直线AE与D1F所成角为直角。
（Ⅲ）由（Ⅰ）知AD⊥D1F，由（Ⅱ）知AE⊥D1F，又AD∩AE=A，所以D1F⊥面AED
又因为D1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1.
（Ⅳ）∵体积VE-AA1F=VF-AA1E，
又FG⊥面ABB1A1，三棱锥F-AA1E的高FG=AA1=2，
面积S△AA1E=S□ABB1A1=
∴VE-AA1F =
（24）（本小题满分12分）
已知过原点O的一条直线与函数的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数的图象交于C、D两点。
（Ⅰ）证明点C、D和原点O在同一条直线上;
（Ⅱ）当BC平行于x轴时，求点A的坐标。
解：（Ⅰ）设点A、B的横坐标分别为，
由题设知，，则点A、B纵坐标分别为
因为A、B在过点O的直线上，
所以
点C、D的坐标分别为
由于
OC的斜率OD的斜率
由此可知，
即O、C、D在同一条直线上。
（Ⅱ）由于BC平行于x轴知即得
代入得
由于
考虑
于是点A的坐标为
（25）（本小题满分12分）
设圆满足：①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1;③圆心到直线：的距离为。求该圆的方程。
解法一：设圆的圆心为，半径为，则点P到x轴，y轴距离分别为
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为900，知圆P截x轴所得的弦长为，故
又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有从而得
又点到直线的距离为，所以
即有，由此有
解方程组得于是知
所求圆的方程是
于是，所求圆的方程是
一九九八年（理科）
（1）的值是 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（2）函数的图象是 （ B ）
1
1 1
o x o x o x o x
（3）曲线的极坐标方程化成直角坐标方程为 （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
（4）两条直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件（ A ）
（A）A1A2+B1B2=0（B）A1A2-B1B2=0（C）（D）
（5）函数的反函数 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（6）已知点P在第一象限，则在内的取值范围是 （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 （ C ）
（A）1200 （B）1500 （C）1800 （D）2400
（8）复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（9）如果棱台的两底面积分别是S，S＇，中截面的面积是S0，那么 （ A ）
H h
（A） （B）
（C） （D）
（10）向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是 （ B ）
（11）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体验，每校分配1名医生和2名护士。不同的分配方法共有 （ D ）
（A）90种 （B）180种 （C）270种 （D）540种
（12）椭圆的焦点为F1和F2，点P在椭圆上。如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的 （ A ）
（A）7倍 （B）5倍 （C）4倍 （D）3倍
（13）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（ B ）
（A） （B） （C）2 （D）
（14）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为（ B ）
（A）（B）（C）（D）
（15）在等比数列中，且前n项和满足那么的取值范围是 （ D ）
（A） （B）（1，4） （C）（1，2） （D）（1，）
（16）设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是__________
答：
（17）的展开式中的系数为______（用数字作答）
答：179
B1
C1
A D
B
C
(18)如图，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_______时，有A1C⊥B1D1.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）
答：AC⊥CD，（或ABCD是正方形，菱形等等）
（19）关于函数，
有下列命题：
①由可得必是的整数倍;
②的表达式可改写成
③的图象关于点对称;
④的图象关于直线对称.
其中正确的命题的序号是________（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
答：②，③
（20）（本小题满分10分）
在△ABC中，分别是接A，B，C的对边，设A-C=求的值。以下公式供解题时参考：
解：由正弦定理和已知条件得
由和差化积公式
由A+B+C=得
又A-C=得
（21）（本小题满分11分）
A1 B1
E
D C
H F
A B
G
（Ⅰ）证明AD⊥D1F;
（Ⅱ）求AE与D1F所成的角;
（Ⅲ）证明面AED⊥面A1FD1;
（Ⅳ）设AA1=2，求三棱锥F-A1ED1的
体积VF-A1ED1.
解：（Ⅰ）∵AC1是正方体，
∴AD⊥面DC1，又D1F面DC1，
∴AD⊥D1F.
（Ⅱ）取AB中点G，连结A1G，FG
因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，
又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，
故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。
设A1G与AE相交与点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角。
因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，
∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=900，即直线AE与D1F所成角为直角。
（Ⅲ）由（Ⅰ）知AD⊥D1F，由（Ⅱ）知AE⊥D1F，又AD∩AE=A，所以D1F⊥面AED
又因为D1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1.
（Ⅳ）连结GE，GD1.
∵FG∥A1D1，∴FG∥面A1ED1，
∴体积VF-A1ED1=VG-A1ED1=VD1-A1GE，
∵AA1=2，∴面积S△A1GE=S□ABB1A1-2S△A1AG-S△GBE=
∴VF-A1ED1=VD1-A1GE=
（24）（本小题满分12分）
设二次函数，方程的两个根满足
（Ⅰ）当时，证明：
（Ⅱ）设函数的图象关于直线对称，证明：
解：（Ⅰ）令因为是方程的根，所以
（Ⅱ）依题意知
因为是方程的根，即是方程
的根
所以
（25）（本小题满分12分）
设圆满足：①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1。在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线：的距离最小的圆的方程。
解法一：设圆的圆心为，半径为，则点P到x轴，y轴距离分别为
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为900，知圆P截x轴所得的弦长为，故
又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有从而得
又点到直线的距离为
所以
当且仅当时上式等号成立，此时，从而取得最小值.
由此有解此方程组得
由于知
于是，所求圆的方程是
解法二：同解法一得
，得
将代入（1）式，整理得
把它看作的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即
所以 有最小值1，从而有最小值
将其中代入（2）式得解得
将代入
综上
由同号。
于是，所求圆的方程是
一九九七年（文科）
（1）设集合M=，集合N=，集合 （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
（2）如果直线与直线平行，那么系数 （ B ）
（A）-3 (B)-6 (C) (D)
（3）函数在一个周期内的图象是 （ A ）
(A) (B) (C) (D)
o x o x o x o x
（4）已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是
（A） （B） （C） （D） （ C ）
（5）函数的最小正周期是 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（6）满足的角的一个取值区间是 （ C ）
（A）（0，] （B）[0，] （C）[，） （D）[，]
（7）设函数定义域在实数集上，则函数与
的图象关于 （ D ）
（A）直线y=0对称 （B）直线x=0对称
（C）直线y=1对称 （D）直线x=1对称
（8）长方体一个顶点上三条棱的长分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（9）如果直线将圆：平分，且不通过第四象限，那么的斜率的取值范围是 （ A ）
（A）[0，2] （B）[0，1] （C）[0，] （D）[0，）
（10）函数的最小值为 （ B ）
（A）2 （B）0 （C） （D）6
（11）椭圆C与椭圆关于直线对称，椭圆C的方程是 （ A ）
（A） （B）
（C） （D）
（12）圆台上、下底面积分别为，侧面积为，这个圆台的体积是 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（13）定义在区间的奇函数为增函数;偶函数在区间的图象与的图象重合。设，给出下列不等式： （ C ）
① ②
③ ④
其中成立的是
（A）①与④ （B）②与③ （C）①与③ （D）②与④
（14）不等式组的解集是 （ C ）
（A） （B）
（C） （D）
（15）四面体的一个顶点为A，从其它顶点与各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有 （ B ）
（A）30种 （B）33种 （C）36种 （D）39种
（16）已知的展开式中的系数为，常数的值为_____
答：4
（17）已知直线与抛物线交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是_______
答：（4，2）
(18)的值为_______
答：
（19）已知是直线，是平面，给出下列命题：
①若垂直于内的两条相交直线，则
②若平行于，则平行于内的所有直线;
③若
④若
⑤若
其中正确的命题的序号是________（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
答：①，④
（20）（本小题满分10分）
已知复数求复数的模及辐角主值。
解：
故复数的模为，辐角主值为.
（21）（本小题满分11分）
设是等差数列前n项和。已知与的等比中项为，与的等差数列中项为1。求等差数列的通项.
解：设等差数列数列的首项公差为，
则通项为
前n项和为
依题意有
其中由此可得
整理得解方程组得
由此得
经验证知均适合题意。
故所求等差数列的通项为
（22）（本小题满分12分）
甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过C千米/小时。，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/小时）的平方成正比，比例系数为；固定部分为元。
（Ⅰ）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
解：（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，
全程运输成本为
故所求函数及其定义域为
（Ⅱ）依题意知S，都为正数，故有
当且仅当时上式中等号成立。
若时，全程运输成本y最小
若时，有
因为
所以时等号成立，也即当时，
全程运输成本y最小。
综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为
当时行驶速度应为。
（23）（本小题满分12分）
D1 C1
A C
B
D
∴面ADF⊥面ACF.∴面AEF⊥面ACF.
（Ⅱ）解：∵VA1-AEF=VE-AA1F.
在面A1B1C1内作B1G⊥A1C1，
垂足为G. B1G=.
面A1B1C1⊥面A1C，
∴EBB1，而BB1∥面A1C，
∴三棱锥E-AA1F的高为.
S△A1AF=?AA1?AC=.
∴VA1-AEF=VE-AA1F=
（24）（本小题满分10分）
某地现有耕地１0000公顷。规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到１公顷）？
（=，=）
解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷。
依题意的不等式
化简得
答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。
（25）（本小题满分12分）
已知是过点P（）的两条互相垂直的直线，且与双曲线各有两交点，分别为A1、B1和A2、B2。
（Ⅰ）求的斜率k1的取值范围;
（Ⅱ）若A1恰是双曲线的一个顶点，求|A2B2|的值。
解：（Ⅰ）依题意，的斜率都存在。因为过点P（）且与双曲线有两个交点，故方程组
（1）
有两个不同的解。在方程组（1）中消去y，整理得
（2）
若，则方程组（1）只有一个解，即与双曲线只有一个交点，与题设矛盾。
故，即。方程（2）的判别式为
设的斜率为k2,因为过点P（）且与双曲线有两个交点，故方程组
（3）
有两个不同的解。在方程组（3）中消去y，整理得
（4）
同理有，
又因为，所以有
于是，与双曲线各有两个交点，等价于
（Ⅱ）双曲线的顶点为（0，1）、（0，-1）。
取A1（0，1）时，有
解得从而，
将代入方程（4）得
（5）
记与双曲线的两交点为A2（x1,y1）B2（x2,y2）.则
由（5）知
同理，由方程（4）可求得|A2B2|2，整理得
当取A1（0，-1）时，由双曲线关于x轴的对称性，知
所以过双曲线的一个顶点时，。
一九九七年（理科）
（1）设集合M=，集合N=，集合 （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
（2）如果直线与直线平行，那么系数 （ B ）
（A）-3 (B)-6 (C) (D)
（3）函数在一个周期内的图象是 （ A ）
(A) (B) (C) (D)
o x o x o x o x
（4）已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是
（A） （B） （C） （D） （ C ）
（5）函数的最小正周期是 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（6）满足的x的取值范围是 （ D ）
（A）[-1，]（B）[，0]（C）[0，]（D）[，1]
（7）将的图象 （ D ）
（A）先向左平行移动1个单位（B）先向右平行移动1个单位
（C）先向上平行移动1个单位（D）先向下平行移动1个单位
再作关于直线对称的图象，可得到函数的图象
（8）长方体一个顶点上三条棱的长分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（9）曲线的参数方程是，它的普通方程是（A） （B） （ B ）
（C） （D）
（10）函数的最小值为 （ B ）
（A）2 （B）0 （C） （D）6
（11）椭圆C与椭圆关于直线对称，椭圆C的方程是 （ A ）
（A） （B）
（C） （D）
（12）圆台上、下底面积分别为，侧面积为，这个圆台的体积是 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（13）定义在区间的奇函数为增函数;偶函数在区间的图象与的图象重合。设，给出下列不等式： （ C ）
① ②
③ ④
其中成立的是
（A）①与④ （B）②与③ （C）①与③ （D）②与④
（14）不等式组的解集是 （ C ）
（A） （B）
（C） （D）
（15）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 （ D ）
（A）150种 （B）147种 （C）144种 （D）141种
（16）已知的展开式中的系数为，常数的值为_____
答：4
（17）已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是_______
答：
(18)的值为_______
答：
（19）已知是直线，是平面，给出下列命题：
①若垂直于内的两条相交直线，则
②若平行于，则平行于内的所有直线;
③若
④若
⑤若
其中正确的命题的序号是________（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
答：①，④
（20）（本小题满分10分）
已知复数复数在复平面上所对应的点分别为P，Q。证明：△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）
解：因为
因为
于是
由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ| .
由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形。
（21）（本小题满分11分）
已知数列都是由正数组成的等比数列，公比分别为，其中，且设为数列的前n项和.求
解：
分两种情况讨论：
（1）
（2）
（22）（本小题满分12分）
甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过C千米/小时。，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/小时）的平方成正比，比例系数为；固定部分为元。
（Ⅰ）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
解：（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，
全程运输成本为
故所求函数及其定义域为
（Ⅱ）依题意知S，都为正数，故有
当且仅当时上式中等号成立。
若时，全程运输成本y最小
若时，有
因为
所以时等号成立，也即当时，
全程运输成本y最小。
综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为
当时行驶速度应为。
（23）（本小题满分12分）
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点。
D1 C1
A1 B1
解：q=1，则有S3=3，S6=6，S9=9.但，即得S3+S6≠2S9，与题设矛盾，故.
又依题意S3+S6=2S9可得
（22）（本小题满分12分）
已知△ABC的三个内角A，B，C满足：
A+C=2B，求的值。
解：由题设条件知：
B=600，A+C=1200
利用和差化积及积化和差公式，上式可化为
将代入上式并整理得
从而得
（23）（本小题满分12分）
【注意：本题的要求是，参照标本①的写法，在标本②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤，完成（Ⅰ）证明的全过程;并解答（Ⅱ）.】
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=，E、F分别是BB1、CC1上的点，且BE=，CF=2
A1 C1
B1
F
E
A C
B
（Ⅰ）求证：面AEF⊥面ACF;
（Ⅱ）求三棱锥A1-AEF的体积。
（Ⅰ）证明：
①∵BE=，CF=2，BE∥CF，延长FE与CB延长线交于D，连结AD。
∴△DBE∽△DCF，
∴
②∵BE:CF=1:2，∴DC=2DB，∴DB=BC，
∴DB=AB.
③∵△ABD是等腰三角形，
且∠ABD=1200，∴∠BAD=300，
∴∠CAD=900，∴DA⊥AC.
④∵FC⊥面ACD，∴CA是FA在面ACD上的射影，
且CA⊥AD，∴FA⊥AD.
⑤∵FF∩AC=A，DA⊥面ACF，而DA 面ADF，
A1 G C1
B1
F
（A）0.5 （B）-0.5 （C）1.5 （D）-1.5
（16）已知点（-2，3）与抛物线的焦点的距离是5，则p=__________
答：4
（17）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_______个（用数字作答）
答：32
(18)的值是_______
A B
F E
答：
（19）如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成600的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是_______
答：
（20）（本小题满分11分）
解不等式
解：（Ⅰ）当时，原不等式等价于不等式组：
（Ⅱ）当时，原不等式等价于不等式组：
综上，当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
（21）（本小题满分12分）
设等比数列的前n项和为.若S3+S6=2S9，求数列的公比q.
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