5．若是常数,则“”是“对任意,有”的　　　　　　　　　　　 　 (　 ▲　 )

　　　　 A．充分不必要条件　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．必要不充分条件

　　　　 C．充要条件　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

4．设都是单位向量，且与的夹角为，则　　　　　　　　 (　 ▲　 )

　 A、3　　　　　　 B、　　　　　 C、2　　　　　　 D、

3．已知等比数列中，公比，且，，则=　　 (　 ▲　 )

　 A、2　　　　　　 B、3 　　　　　　C、6　　　　　　 D、3或6

2．. 等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于(　 ▲　 )

A．1　　　　　 B　 　　　　　　　C.- 2　　　　　　　　 D 3

1．设集合，，则下列关系中正确的是　　　　 (　 ▲　 )

　 A、　　　 B、　　　 C、　　　 D、

23．如图，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，

AB＝BC=，BB₁＝3，D为A₁C₁的中点，F在线段AA₁上．

(1)AF为何值时，CF⊥平面B₁DF？

(2)设AF=1，求平面B₁CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.

[解] (1)因为直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，

BB₁⊥面ABC，∠ABC＝．

以B点为原点，BA、BC、BB₁分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.

因为AC＝2，∠ABC＝90º，所以AB＝BC＝，

从而B(0，0，0)，A，C，B₁(0，0，3)，A₁，C₁，D，E．

所以，

设AF＝x，则F(，0，x)，

.

，所以　　　　

要使CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F.

由＝2+x(x－3)＝0，得x＝1或x＝2，

故当AF＝1或2时，CF⊥平面B₁DF．……………… 5分

(2)由(1)知平面ABC的法向量为n₁=(0，0，1).　　

设平面B₁CF的法向量为，则由得

令z=1得，

所以平面B₁CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值

………………… 10分

22．动点P在x轴与直线l：y＝3之间的区域(含边界)上运动，且到点F(0，1)和直线l的距离之和为4．

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)过点作曲线C的切线，求所作的切线与曲线C所围成区域的面积．

[解](1)设P(x，y)，根据题意，得+3－y＝4，化简，得y＝x²(y≤3)．

…………………4分

(2)设过Q的直线方程为y＝kx－1，代入抛物线方程，整理得x²－4kx+4＝0．

由△＝16k²－16＝0．解得k＝±1．

于是所求切线方程为y＝±x－1(亦可用导数求得切线方程).

切点的坐标为(2，1)，(－2，1)．

由对称性知所求的区域的面积为S＝　 ………………… 10分

21．[选做题]在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4-1　几何证明选讲

如图，AB是⊙O的直径，C、F为⊙O上的点，且CA平分∠BAF，过点C作CD⊥AF

交AF的延长线于点D. 求证：DC是⊙O的切线.

[证明]连结OC，所以∠OAC=∠OCA.

又因为CA平分∠BAF，所以∠OAC=∠FAC，

于是∠FAC=∠OCA，所以OC//AD.

又因为CD⊥AF，所以CD⊥OC，

故DC是⊙O的切线．　 ………………… 10分

B．选修4-2　矩阵与变换

变换T是绕坐标原点逆时针旋转的旋转变换，求曲线在变换T作用

下所得的曲线方程．

[解]变换T所对应变换矩阵为，设是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是，则，即，代入，

即，

所以变换后的曲线方程为．　　　　　　　　 ………………… 10分

C．选修4-4　参数方程与极坐标(本题满分10分)

已知圆和圆的极坐标方程分别为，．

(1)把圆和圆的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

[解](1)，所以；因为，

所以，所以． ………5分

(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为．　

化为极坐标方程为，即．　 ………………… 10分

D．选修4-5　不等式证明选讲(本题满分10分)

已知，求证：.

[解]因为，所以，所以要证，

即证， 即证，　　　　 　　　　　　　　　　　

即证，而显然成立，故．…………… 10分

[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

20．(本小题满分16分)

已知二次函数g(x)对任意实数x都满足，且．令

．

(1)求 g(x)的表达式；

(2)若使成立，求实数m的取值范围；

(3)设，，

证明:对，恒有

[解] 　(1)设，于是

所以

又，则．所以.　　　　　 ……………………4分

(2)

当m>0时，由对数函数性质，f(x)的值域为R；

当m=0时，对_，恒成立；　　　　 ……………………6分

当m<0时，由，列表：

x
	－	0	+
	减	极小	增

　　　　　　 ……………………8分

所以若_，恒成立，则实数m的取值范围是.　

故使成立，实数m的取值范围_．……………… 10分

(3)因为对，所以在内单调递减.

于是

………………… 12分

记，

则

所以函数在是单调增函数，　　　 ………………… 14分

所以，故命题成立.　　 ………………… 16分

数学试题Ⅱ(附加题)

19．(本小题满分16分)已知椭圆的离心率为，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且.

(1)求椭圆C和直线l的方程；

(2)记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域(含边界)为D．若

曲线与D有公共点，试求实数m的最小值．

[解](1)由离心率，得，即.　　 ① ………………2分

又点在椭圆上，即.　　 ② ………………4分

解 ①②得，

故所求椭圆方程为.　　　　　 …………………6分

由得直线l的方程为. ………8分

(2)曲线，

即圆，其圆心坐标为，

半径，表示圆心在直线上，半径为的动圆. ………………… 10分

由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑的情形.

设与直线l相切于点T，则由，得，………………… 12分

当时，过点与直线l垂直的直线的方程为，

解方程组得.　　　　　　　　　　　 ………………… 14分

因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为，　

所以切点，由图可知当过点B时，m取得最小值，即，

解得.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………… 16分

　 　(说明：若不说理由，直接由圆过点B时，求得m的最小值，扣4分)