6．极坐标方程表示的图形是　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．两个圆　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．两条直线　　 　　

　　　 C．一个圆和一条射线　　 　　　　　　　　　　　 D．一条直线和一条射线

[答案]C

[分析]可以得到两个方程，根据这两个极坐标系方程判断其表示的图形。

[解析]由，得或者，其中表示的图形是圆，后者表示的图形是一条射线。

[考点]坐标系与参数方程。

[点评]当曲线的极坐标方程可以通过分解因式的方法，分解为一端是几个因式的乘积、一端是零的形式，在这个曲线就是那几个因式所表示的图形。要注意对极径是否有限制，本题如果没有限制，则表示的图形就是一条直线。

5．双曲线的离心率为2，则的最小值为　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　 　　　 B．　　　 　　　　 C．　　　 　　　　　 D．

[答案]A

[分析]根据基本不等式，只要根据双曲线的离心率是，求出的值即可。

[解析]由于已知双曲线的离心率是，故，解得，所以的最小值是。

[考点]圆锥曲线与方程。

[点评]双曲线的离心率和渐近线的斜率之间有关系，从这个关系可以得出双曲线的离心率越大，双曲线的开口越大。

4．已知三棱锥底面是边长为的等边三角形，侧棱长均为，则侧棱与底面所成角的余弦值为　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　 　　　　 B．　　　　 　　　　 C．　　　 　　　 D．

[答案]D

[分析]由于是三棱锥，故顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心，底面的一个顶点到这个中心的距离是，侧棱与底面所成角的余弦值就是这个数值除以侧棱长。

[解析]根据分析，所求的余弦值是。

[考点]空间点、线、面位置关系。

[点评]正三棱锥的底面边长为，侧棱长为时，三棱锥的高是，侧棱与底面所成角的余弦值是等。

3．抛物线上一点到直线的距离最短，则该点的坐标是　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　 　　　　 B．　　　　 C．　　 　　　　 D．

[答案]C

[分析]根据题意，直线必然与抛物线相离，抛物线上的点到直线的最短距离就是与直线平行的抛物线的切线的切点。

[解析]，由得，故抛物线的斜率为的切线的切点坐标是，该点到直线的距离是最短。

[考点]导数及其应用。

[点评]本题以数形结合思想为指导命制，通过形的分析把问题转化为求抛物线的斜率为的切线的切点坐标。本题也可以直接根据点到直线的距离公式求解，即抛物线上的点到直线的距离是，显然这个函数当时取得最小值，此时。

2．奇函数在上的解析式是，则在上的函数解析式是　　　　　　　　　 　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　 　 B．

　　　 C．　　　　　　 　 D．

[答案]B

[分析]把的函数解析式通过函数是奇函数的性质转化到使用函数在上的解析式。

[解析]当时，，由于函数是奇函数，故。

[考点]基本初等函数Ⅰ。

[点评]已知函数的奇偶性和函数在一个区间上的解析式求这个函数在其关于坐标原点对称的区间上的函数解析式，就是根据函数的奇偶性进行转化的，这类试题重点考查化归转化思想是运用。

1．已知全集，，，则集合等于(　　 )

　　　 A．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．　　 　　　　　　

　　　 C．　　 　　　　　　　　　　 D．

[答案]B　

[分析]根据元素与集合的关系和集合的运算规律进行，即不在结合中，也不在集合中，所以在集合且在中，根据并集的意义即可。

[解析]根据分析，。

[考点]集合

[点评]本题也可以直接进行检验，但在[分析]中说明的方法是最根本的，是从元素与集合的关系以及交集和交集的含义上进行的解答。

22．(12分)已知函数。

(1)若，试确定函数的单调区间；

(2)若且对任意，恒成立，试确定实数的取值范围；

(3)设函数，求证：

[分析](1)只要解导数的不等式即可；(2)函数是偶函数，只要对任意恒成立即可，等价于在的最小值大于零；(3)，根据，即只要证明，此采用分组的方法证明即可。

[解析](1)，令，解得

当时，，在单调递增；

当时，，在单调递减。　　 (4分)

(2)为偶函数，恒成立等价于对恒成立

当时，，令，解得

(1)当，即时，在减，在增

，解得，

(2)当，即时，，在上单调递增，

，符合，

综上，。　　 (8分)

(3)

。。。。。。

。　　 (12分)

[考点]导数及其应用。

[点评]本题考查导数在研究函数的单调性、最值和中的应用，考查等价转化的思想方法以及分析问题的能力。本题的第二问实际上是在上恒成立，也可以分离参数构造函数进行解答，即：当时，；当时，由，得，令，只要即可。

第三问使用了“倒序相乘”的方法，类比了求等差数列前项公式时使用的“倒序相加”。

21．(12分)已知抛物线，其焦点到准线的距离为。,

(1)试求抛物线的方程；

(2)设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于，过点作的垂线交于另一点，若是的切线，求的最小值．

[分析](1)根据抛物线的准线方程确定值即可；(2)由于是抛物线上的点，可以使用点参数表示各个点的坐标，可以设，求出过点的抛物线的切线方程，即可用表示点的坐标，再根据三点共线即可把用表达，最后根据即可建立之间的一个方程，从而是变量表示，通过函数的方法求出的取值范围。

[解析](1)。　　 (3分)

(2)设，则直线的方程为　　 (4分)

令，得，(5分)

　 ，且两直线斜率存在，，即，(8分)

整理得，又在直线上，

则与共线，得　　 (10分)

由(1)、(2)得，，或(舍)

所求的最小值为。(12分)

[考点]圆锥曲线与方程、直线与方程、不等式、导数及其应用。

[点评]本题综合解析几何中的各种知识、不等式的知识、导数的几何意义等，是一道在知识网络交汇处命题的试题。本题的第二问各种位置关系错综复杂，在解题中抓住主要问题“是抛物线的切线，以及是直线与轴的交点”，这样就可以用的横坐标表示的横坐标，这是解决问题的关键所在。

20．(12分)如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，分别是的中点。

(1)求证：平面；

(2)求证：平面；

(3)求二面角的正切值。

[分析](1)根据中点寻找平行线即可；(2)易证，在根据勾股定理的逆定理证明；(3)根据(2)的证明点就是点在平面的射影，只要过点作的垂线或者过点作的垂线，即可作出二面角的平面角。

[解析](1)取中点，连接

平行四边形，平面，平面，平面。　 (4分)

(2)等腰直角三角形中为斜边的中点，

又直三棱柱，面面，

面，

设

又面。　 (8分)

(3)面，作于，连接，为所求

，所求二面的正切值为。(12分)

[考点]空间点、线、面位置关系。

[点评]立体几何中的中点与中点之间可以产生平行线，当问题涉及到中点时可以通过再找其中的中点作出辅助线；垂直关系的证明，关键是线线垂直的证明，基本方法是通过线面垂直证明线线垂直、计算证明线线垂直；二面角的求解，综合几何方法的关键是作出其平面角，一个重要而根本的方法就是“射影法”，这个方法是在二面角的一个半平面内找一个特殊的点，作令一个半平面的垂线，垂足为，再过点作二面角棱的垂线。垂足为，连结，则就是所求二面角的平面角，并且这个角是一个直角三角形的内角(如果二面角是钝二面角，则可以用这个方法作出其平面角的补角)。

19．(12分)椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，该椭圆经过点且离心率为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线与椭圆相交两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

[分析](1)根据椭圆的方程和简单几何性质，使用待定系数法即可；(2)要证明直线系过定点，就要找到其中的参数之间的关系，把双参数化为但参数问题解决，这只要根据直线与椭圆相交两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点即可，这个问题等价于椭圆的右顶点与的张角是直角。

[解析](1)椭圆的标准方程为　 (4分)

　　　 (2)设，得:

　，,

　　　 　　(6分)

以为直径的圆过椭圆的右顶点，，

，

，，且均满足，　　　 (9分)

当时，的方程为，则直线过定点与已知矛盾

当时，的方程为，则直线过定点

直线过定点，定点坐标为　 (12分)

[考点]圆锥曲线与方程。

[点评]直线系过定点时，必需是直线系中的参数为但参数，对于含有双参数的直线系，就要找到两个参数之间的关系把直线系方程化为单参数的方程，然后把当作参数的系数把这个方程进行整理，使这个方程关于参数无关的成立的条件就是一个关于的方程组，以这个方程的解为坐标的点就是直线系过的定点。