5．设a，b，c表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是________．

①c⊥α，若c⊥β，则α∥β

②b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则a⊥b

③b⊂β，若b⊥α，则β⊥α

④b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c

解析：当b⊂β，若β⊥α，则未必有b⊥α.答案：③

4．已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是_．

①若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n

②若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n

③若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n

④若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n

解析：易知①正确．而②中α⊥β且m⊥α⇒m∥β或m∈β，又n∥β，容易知道m，n的位置关系不定，因此②错误．而③中分别平行于两平行平面的直线的位置关系不定，因此③错误．而④中因为②不对，此项也不对．综上可知①正确．答案：①

3．设m，n是两条不同的直线， α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是．

①m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β　 ②α∥β，m⊥α，n∥β ⇒m⊥n

③α⊥β，m⊥α，n∥β ⇒m⊥n　 ④α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β

解析：①错，不符合面面垂直的判断定理的条件；②由空间想象易知命题正确；③错，两直线可平行；④错，由面面垂直的性质定理可知只有当直线n在平面α内时命题才成立．答案：②

2．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是________．

①若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β

②若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α

③若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β

④若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α

解析：由n⊥α，n⊥β可得α∥β，又因m⊥β，所以m⊥α.答案：②

1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是____．

①a⊥α，b∥β，α⊥β　 ②a⊥α，b⊥β，α∥β

③a⊂α，b⊥β，α∥β　 ④a⊂α，b∥β，α⊥β

解析：由α∥β，b⊥β ⇒b⊥α，又a⊂α，故a⊥b.答案：③

6．(2009年高考山东卷)如图，在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA₁＝2，E，E₁分别是棱AD，AA₁的中点．

(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE₁∥平面FCC₁；

(2)证明：平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.

证明：(1)法一：取A₁B₁的中点为F₁，连结FF₁，C₁F₁.

由于FF₁∥BB₁∥CC₁，

所以F₁∈平面FCC₁.

因此平面FCC₁即为平面C₁CFF₁.

连结A₁D，F₁C，

由于A₁F₁綊D₁C₁綊CD，

所以四边形A₁DCF₁为平行四边形，

因此A₁D∥F₁C.又EE₁∥A₁D，

得EE₁∥F₁C.

而EE₁⊄平面FCC₁，F₁C⊂平面FCC₁，

故EE₁∥平面FCC₁.

法二：因为F为AB的中点，

CD＝2，AB＝4，AB∥CD，

所以CD綊AF，

因此四边形AFCD为平行四边形，

所以AD∥FC.

又CC₁∥DD₁，FC∩CC₁＝C，FC⊂平面FCC₁，CC₁⊂平面FCC₁，AD∩DD₁＝D，AD⊂平面ADD₁A₁，DD₁⊂平面ADD₁A₁.

所以平面ADD₁A₁∥平面FCC₁.

又EE₁⊂平面ADD₁A₁，所以EE₁∥平面FCC₁.

(2)连结AC，在△FBC中，FC＝BC＝FB，

又F为AB的中点，所以AF＝FC＝FB.

因此∠ACB＝90°，即AC⊥BC.

又AC⊥CC₁，且CC₁∩BC＝C，

所以AC⊥平面BB₁C₁C.

而AC⊂平面D₁AC，

故平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.

B组

5．(原创题)已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中假命题的有________．

①若a∥b，则α∥β；②若α⊥β，则a⊥b；③若a、b相交，则α、β相交；④若α、β相交，则a，b相交．

解析：若α、β相交，则a、b既可以是相交直线，也可以是异面直线．

答案：④

4．(2009年高考浙江卷)如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是________．

解析：如图，过D作DG⊥AF，垂足为G，连结GK，∵平面ABD⊥平面ABC，又DK⊥AB，

∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF.

∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK.

容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，当F接近C点时，K接近AB的四等分点．∴t的取值范围是(，1)．答案：(，1)

3．(2009年高考山东卷改编)已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β ”是“m⊥β ”的________条件．

解析：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，m⊥β，则α⊥β，反过来则不一定．所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．

答案：必要不充分

2．(2010年青岛质检)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下面有三个命题：

①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β.则真命题的个数为________．

解析：对于①，由直线l⊥平面α，α∥β，得l⊥β，又直线m⊂平面β，故l⊥m，故①正确；对于②，由条件不一定得到l∥m，还有l与m垂直和异面的情况，故②错误；对于③，显然正确．故正确命题的个数为2.答案：2个