6．某人骑车以每小时a公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向。

解：设a表示此人以每小时a公里的速度向东行驶的向量，

无风时此人感到风速为-a，

设实际风速为v，

那么此时人感到的风速为v - a，

设= -a，= -2a

∵+= ∴= v - a，这就是感到由正北方向吹来的风速，

∵+= ∴= v -2a，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是，

由题意：ÐPBO = 45°,　 PA^BO, BA = AO

从而，△POB为等腰直角三角形，∴PO = PB =a　 即：|v | =a

∴实际风速是a的西北风

5．已知：平面上三点O、A、B不共线，求证：平面上任一点C与A、B共线的充要条件是存在实数λ和μ，使=λ+ μ，且λ+ μ = 1。

证：必要性：设A,B,C三点共线，则可设= t　 (tÎR)

则=+=+ t=+ t(-) = (1-t)+ t

令1-t =λ，t = μ，则有：=λ+ μ，且λ+ μ = 1

充分性：=-=λ+ μ-= (λ-1)+ μ

= -μ+ μ= μ(-) = μ　 　　

　　　　　　　　 ∴三点A、B、C共线

4．求证：起点相同的三个非零向量a、b、3a -2b的终点在同一直线上。

证：依题意，可设= a,　 = b,　 = 3a -2b

　　 =-= b - a ,　 =-= 3a -2b - a = 2(a - b)

∴= -2　 由于,起点均为A，∴三点A,B,C共线，

即起点相同的三个非零向量a、b、3a -2b的终点在同一直线上

3．设=(a+5b)，=-2a + 8b，=3(a -b)，求证：A,B,D三点共线。

证：=++=(a+5b) + ( -2a + 8b) + 3(a -b)

= (1+)a + (5 + 5)b = (1+)(a + 5b)

而=(a+5b)　　 ∴= (+ 1)

又∵, 有公共点　 ∴A,B,D三点共线

2．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。

证：设= b，= a，则=+= b+a, =

∵A, G, D共线，B, G, E共线

∴可设=λ，= μ,

则=λ=λ(b+a)=λb+λa,

　 = μ= μ(b+a)=μb+μa,

∵　　　 即：b + (μb+μa) =λb+λa

∴(μ-λ)a + (μ-λ+)b = 0　　 ∵a,　 b不平行，

∴

即：AG = 2GD　 同理可化：AG = 2GD ,　 CG = 2GF

1．如图：已知MN是△ABC的中位线，

求证：MN=BC, 且MN∥BC

证：∵MN是△ABC的中位线，

∴,　

∴

∴MN=BC, 且MN∥BC

7．在湖面上高h处，测得云彩仰角为a，而湖中云彩影的俯角为b，

求云彩高。

解：C、C’关于点B对称，设云高CE = x，

则CD = x - h，C’D = x + h，

在Rt△ACD中，

在Rt△AC’D中，

∴　　 解得：

6．某船在海上航行中不幸遇险，并发出呼救信号，我海上救生艇在A处获悉后，立即测出该船的方位角为45°，与之相距10 nmail的C处，还测得该船正沿方位角105°的方向以每小时9 nmail的速度向一小岛靠近，我海上救生艇立即以每小时21 nmail的速度前往营救，试求出该海上救生艇的航向及与呼救船相遇所需时间。

解：设所需时间为t小时，

在点B处相遇(如图)

在△ABC中，ÐACB = 120°,　

AC = 100,　 AB = 21t,　 BC = 9t

由余弦定理：(21t)² = 10² + (9t)² - 2×10×9t×cos120°

整理得：36t² -9t - 10 = 0 　　解得：(舍去)

由正弦定理：

∴ÐCAB = 21°47’

5．一块直径为30cm的圆形铁板，已经截去直径分

别为20cm，10cm的圆形铁板各一块，现要求

在所剩余的铁板中，再截出同样大小的铁板两块，

问：这两块铁板的半径最大有多少cm？

解：设所求最大圆的半径为x，

则在△ABC中：

又在△ACD中：

∴

4．如图：在斜度一定的山坡上的一点A测得

山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为

15°，向山顶前进100m后，又从点B测得

斜度为45°，假设建筑物高50m，

求此山对于地平面的斜度q。

解：在△ABC中，AB = 100m ,　 ÐCAB = 15°,　 ÐACB = 45°-15° = 30°

由正弦定理：　 ∴BC = 200sin15°

在△DBC中，CD = 50m ,　 ÐCBD = 45°,　 ÐCDB = 90° + q

由正弦定理：Þcosq =　 ∴q = 42.94°