Question

20．如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．
（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当BD=6，AB=10时，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连结OE，如图，由BE平分∠ABD得到∠OBE=∠DBO，加上∠OBE=∠OEB，则∠OBE=∠DBO，于是可判断OE∥BD，再利用等腰三角形的性质得到BD⊥AC，所以OE⊥AC，于是根据切线的判定定理可得AC与⊙O相切；
（2）设⊙O半径为r，则AO=10-r，证明△AOE∽△ABD，利用相似比得到$\frac{10-r}{10}$=$\frac{r}{6}$，然后解方程求出r即可．

解答 解：（1）AC与⊙O相切．理由如下：
连结OE，如图，
∵BE平分∠ABD，
∴∠OBE=∠DBO，
∵OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OBE=∠DBO，
∴OE∥BD，
∵AB=BC，D是AC中点，
∴BD⊥AC，
∴OE⊥AC，
∴AC与⊙O相切；
（2）设⊙O半径为r，则AO=10-r，
由（1）知，OE∥BD，
∴△AOE∽△ABD，
∴$\frac{AO}{AB}$=$\frac{OE}{BD}$，即$\frac{10-r}{10}$=$\frac{r}{6}$，
∴r=$\frac{15}{4}$，
即⊙O半径是$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．解决（2）小题的关键是利用相似比构建方程．