Question

20．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）²+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则
原式=A²+2A+1=（A+1）²
再将“A”还原，得：原式=（x+y+1）²．
上述解题候总用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（x-y）+（x-y）²=（x-y+1）²．
（2）因式分解：（a+b）（a+b-4）+4
（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n²+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．

Answer 1

分析 （1）把（x-y）看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；
（2）令A=a+b，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解；
（3）将原式转化为（n²+3n）[（n+1）（n+2）]+1，进一步整理为（n²+3n+1）²，根据n为正整数得到n²+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方．

解答 解：（1）1+2（x-y）+（x-y）²
=（x-y+1）²；

（2）令A=a+b，则原式变为A（A-4）+4=A²-4A+4=（A-2）²，
故（a+b）（a+b-4）+4=（a+b-2）²；

（3）（n+1）（n+2）（n²+3n）+1
=（n²+3n）[（n+1）（n+2）]+1
=（n²+3n）（n²+3n+2）+1
=（n²+3n）²+2（n²+3n）+1
=（n²+3n+1）²，
∵n为正整数，
∴n²+3n+1也为正整数，
∴代数式（n+1）（n+2）（n²+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．

点评 本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．