Question

5．如图1，将一副三角板的两个锐角顶点放到一块，∠AOB=45°，∠COD=30°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线．
（1）当∠COD绕着点O逆时针旋转至射线OB与OC重合时（如图2），则∠MON的大小为37.5°；
（2）如图3，在（1）的条件下，继续绕着点O逆时针旋转∠COD，当∠BOC=10°时，求∠MON的大小，写出解答过程；
（3）在∠COD绕点O逆时针旋转过程中，∠MON=37.5或142.5°．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义可以求得∠MON=$\frac{1}{2}$（∠AOB+∠COD）；
（2）根据图示可以求得：∠BOD=∠BOC+∠COD=40°．然后结合角平分线的定义推知∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOD，∠COM=$\frac{1}{2}$∠AOC，即可得到结论；
（3）根据（1）、（2）的解题思路即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠AOB=45°，∠COD=30°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，
∴∠BON=$\frac{1}{2}$∠COD=15°，∠MOB=$\frac{1}{2}$∠AOB=22.5°，
∴∠MON=37.5°．
故答案为：37.5°；
（2）当绕着点O逆时针旋转∠COD，∠BOC=10°时，∠AOC=55°，∠BOD=40°，
∴∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOD=20°，∠MOB=$\frac{1}{2}$∠AOC=22.5°，
∴∠MON=37.5°；
（3）∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，∠BOD=∠COD+∠BOC，
∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，∠AOB=45°，∠COD=30°，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$（∠AOB+∠BOC），∠CON=$\frac{1}{2}∠$BOD-∠BOC，
∴∠MON=$\frac{1}{2}$（∠AOB+∠BOC）+$\frac{1}{2}∠$BOD-∠BOC=$\frac{1}{2}∠AOB$+$\frac{1}{2}$（∠BOD-∠BOC）=$\frac{1}{2}∠AOB+\frac{1}{2}∠COD$=37.5°，$\frac{1}{2}$α+$\frac{1}{2}$β=$\frac{1}{2}$（α+β）；
当∠COD在OA、OB的反向延长线形成的角的内部时，
同理，∠MON=142.5°，
综上所述：∠MON=37.5°或142.5°，
故答案是：37.5或142.5．

点评 此题主要考查了角的计算，正确根据角平分线的性质得出是解题关键．