Question

13．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=$\frac{1}{3}BC$，点M是边BC的中点$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}$
（1）填空：$\overrightarrow{BM}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{MA}$=-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$（结果用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$表示）
（2）直接在图中画出向量2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）

Answer 1

分析 （1）由在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=$\frac{1}{3}BC$，可求得$\overrightarrow{BC}$，然后由点M是边BC的中点，求得$\overrightarrow{BM}$，再利用三角形法则求解即可求得$\overrightarrow{MA}$；
（2）首先过点A作AE∥CD，交BC于点E，易得四边形AECD是平行四边形，即可求得$\overrightarrow{BE}$=2$\overrightarrow{a}$，即可知$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$．

解答 解：（1）∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=$\frac{1}{3}BC$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{BC}$=3$\overrightarrow{AD}$=3$\overrightarrow{a}$，
∵点M是边BC的中点，
∴$\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$；
∴$\overrightarrow{MA}$=-$\overrightarrow{AM}$=-（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BM}$）=-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$；
故答案为：$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$，-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$；

（2）过点A作AE∥CD，交BC于点E，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴$\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{EC}$=2$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$．

点评 此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．