Question

14．如图，在直角坐标系中矩形OABC的顶点O与坐标原点重合．点A、C分别在坐标轴上，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象与AB、BC分别交于点E、F（E、F不与B点重合），连接OE，OF．
（1）若B点的坐标为（4，2），且E为AB的中点．
①求四边形BEOF的面积．
②求证：F为BC的中点．
（2）猜想$\frac{AE}{BE}$与$\frac{CF}{BF}$的大小关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）①由B的坐标得到AB与BC的长，进而求出矩形OCBA的面积，由B坐标，根据E为AB中点，求出E坐标，代入反比例解析式求出k的值，利用反比例函数k的几何意义求出三角形AEO与三角形OCF的面积，由矩形ABCO面积-三角形AOE面积-三角形OCF面积=四边形BEOF面积，求出即可；②连接OB，由矩形面积求出三角形OBC面积，由三角形OCF面积得到三角形OBC面积为三角形OCF面积的2倍，而两三角形高相同，故底BC=2CF，即F为中点，得知；
（2）$\frac{AE}{BE}$=$\frac{CF}{BF}$，理由为：设B点坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），表示出A，C，E，F坐标，进而表示出AE，BE，CF，BF，分别求出$\frac{AE}{BE}$与$\frac{CF}{BF}$的值，验证即可．

解答 解：（1）①∵B点的坐标为（4，2），
∴S_矩形OCBA=4×2=8，
∵E为AB的中点，
∴E点的坐标为（2，2），
∵点E、F在双曲线上，
∴k=4，
∴S_△AEO=S_△FCO=$\frac{1}{2}$k=2，
∴S_{四边形BE0F}=S_矩形ABCO-S_△AEO-S_△OFC=8-2-2=4；
②连接OB，

易知S_△OBC=$\frac{1}{2}$S_矩形ABCO=4，
∵S_△OFC=2，
∴S_△OBC=2S_△OFC，
∵S_△OCF=$\frac{1}{2}$S_△OBC，
∴BC=2FC，
∴F为BC的中点；
（2）$\frac{AE}{BE}$=$\frac{CF}{BF}$，理由为：
设B点坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），
则点A（0，b），C（a，0），E（$\frac{k}{b}$，b），F（a，$\frac{k}{a}$），
∴AE=|$\frac{k}{b}$|，BE=|a-$\frac{k}{b}$|=|$\frac{ab-k}{b}$|，CF=|$\frac{k}{a}$|，BF=|b-$\frac{k}{a}$|=|$\frac{ab-k}{a}$|，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{|\frac{k}{b}|}{|\frac{ab-k}{b}|}$=|$\frac{k}{ab-k}$|，$\frac{CF}{BF}$=$\frac{|\frac{k}{a}|}{|\frac{ab-k}{a}|}$=|$\frac{k}{ab-k}$|，
则$\frac{AE}{BE}$=$\frac{CF}{BF}$．

点评 此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：反比例函数k的几何意义，坐标与图形性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．