Question

4．如图，AD∥BC，AF平分∠BAD交BC于点F，BE平分∠ABC交AD于点E．求证：
（1）△ABF是等腰三角形；
（2）四边形ABFE是菱形．

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质和角平分线得出∠AFB=∠ABF，即可得出结论；
（2）由（1）得：AB=AF，同理：AB=BE，证出AF=BE，由AF∥BE，得出四边形ABFE是平行四边形，即可得出结论．

解答 证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠EBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠EBF，
∴∠AFB=∠ABF，
∴AB=AF，即△ABF是等腰三角形；
（2）由（1）得：AB=AF，
同理：AB=BE，
∴AF=BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABFE是平行四边形，
又∵AB=AF，
∴四边形ABFE是菱形．

点评 本题考查了菱形的判定、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识；熟练掌握菱形的判定方法，证明AB=AF，AB=BE是解决问题的关键．