Question

11．如图，⊙O的半径为1，A为⊙O上一点，过点A的直线l交⊙O于点B，将直线l绕点A旋转180°，当AB的长度由1变为$\sqrt{3}$时，l在圆内扫过的面积为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{3}$或$\frac{π}{2}$+$\sqrt{3}$
• D． $\frac{π}{6}$或$\frac{π}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 如图1，可先证明Rt△ACB≌Rt△B′CO，从而可知阴影部分的面积等于圆面积的$\frac{1}{6}$；如图2，阴影部分的面积=圆的面积-S₁-S₂．

解答 解：如图所示

当点B运动到点B′的位置时，过点O作OC⊥AB′，
∵AB=AO=BO=1，
∴∠AOB=60°．
由垂径定理可知：AC=CB′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由锐角三角形函数的定义可知：sin∠AOC=$\frac{AC}{AO}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠AOC=60°．
∴点O、C、B在同一条直线上．
在Rt△ACB和Rt△B′CO中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=OB′}\\{AC=CB′}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACB≌Rt△B′CO．
∴直线AB扫过的面积=扇形BOB′的面积=$\frac{1}{6}×π×{1}^{2}$=$\frac{π}{6}$．
如下图：当点B运动到点B′的位置时，过点O作OC⊥AB′，

∵AB=AO=BO=1，
∴∠AOB=60°．
∴S₂=扇形AOB的面积-△AOB的面积=$\frac{1}{6}π×{1}^{2}-\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{π}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}$．
S₁=扇形AOB′的面积-△AOB′的面积=$\frac{1}{3}π$×${1}^{2}-\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴直线AB扫过的面积=圆的面积-S₁-S₂=$π-（\frac{π}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}）-（\frac{π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}）$=$\frac{π}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：D．

点评 本题主要考查的是旋转的性质，扇形的面积公式，将不规则图形的面积转为规则图形的面积是解题的关键．