Question

11．如图所示：在平面直角坐标系中，以点M（0，$\sqrt{3}$）为圆心，2$\sqrt{3}$为半径作⊙M交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，连接AM并延长交⊙M于点P，连接PC交x轴于点E．
（1）求点C，P的坐标；
（2）求弓形$\widehat{ACB}$的面积；
（3）探求线段BE和OE存在何种数量关系，并证明你所得到的结论．

Answer 1

分析 （1）连接PB．根据直径所对的圆周角是直角判定PB⊥OM；由已知条件OA=OB推知OM是三角形APB的中位线；最后根据三角形的中位线定理求得点P的坐标、由⊙M的半径长求得点C的坐标；
（2）连接BM，易求扇形AMB的面积和△AMB的面积，由S_弓形ACB=S_扇形AMB-S_△AMB计算即可；
（3）首先证△AMC为等边三角形，再根据等边三角形的三个内角都是60°和直径所对的圆周角∠ACP=90°可求得∠OCE=30°，然后在直角三角形OCE中利用30°角所对的直角边是斜边的一半来证明BE=2OE．

解答 解：（1）连接PB，
∵PA是圆M的直径，
∴∠PBA=90°，
∴AO=OB=3，
又∵MO⊥AB，
∴PB∥MO，
∴PB=2OM=2$\sqrt{3}$
∴P点坐标为（3，2$\sqrt{3}$），
在直角三角形ABP中，AB=6，PB=2$\sqrt{3}$，
根据勾股定理得：AP=$\sqrt{A{B}^{2}+B{P}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴圆的半径MC=2$\sqrt{3}$，
又∵OM=$\sqrt{3}$，
∴OC=MC-OM=$\sqrt{3}$，
则C（0，-$\sqrt{3}$）；
（2）连接BM，
∵BP=2$\sqrt{3}$，AP=4$\sqrt{3}$，
∴sin∠PAB=$\frac{1}{2}$，
∴∠PAB=30°，
∴OM=$\frac{1}{2}$AM=$\sqrt{3}$，
∴S_△AMB=$\frac{1}{2}$AB•OM=$\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
∵AM=BM，
∴∠AMB=120°，
∴S_扇形AMB=$\frac{120π×12}{360}$=4π，
∴S_弓形ACB=4π-$3\sqrt{3}$；
（3）BE=20E，理由如下：
∵AM=MC=2$\sqrt{3}$，AO=3，OC=$\sqrt{3}$，
∴AM=MC=AC=2$\sqrt{3}$，
∴△AMC为等边三角形，
又∵AP为圆M的直径，
∴∠ACP=90°
∴∠OCE=30°，
∴OE=1，BE=2，
∴BE=2OE．

点评 本题综合考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及坐标与图形性质、扇形的面积公式、三角形面积公式的运用．解答该题时通过作辅助线构建直径所对的圆周角∠ACP、∠ABP，然后利用圆周角定理来解决问题．