分析 (1)由于BD=2AD,于是得到S1=2S△ADE,由圆内接四边形的性质得到∠ADE=∠C,推出△ADE∽△ACB,根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$,求得AD=$\frac{1}{3}$AB=2,得到S△BCE=$\frac{1}{3}$S△ABE=S△ADE,即可得到结论;
(2)①根据已知条件得到S1=$\frac{6-x}{x}$S△ADE,求得S△ABE=$\frac{6}{x}$S△ADE,根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$,求得AE=$\frac{3}{2}$x,CE=4-$\frac{3}{2}$x,于是得到$\frac{{S}_{△BCE}}{{S}_{△ABE}}$=$\frac{4-\frac{3}{2}x}{\frac{3}{2}x}$=$\frac{8-3x}{3x}$,求出S=S△ABE+S△BCE=$\frac{16}{{x}^{2}}$S△ADE,即可得到结论;②把二次函数的解析式化为顶点式即可得到结论.
解答 解:(1)∵BD=2AD,
∴S1=2S△ADE,
∵过B,C,E三点的圆与AB边交于点D,
∴∠ADE=∠C,
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ACB,
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$,
∵AB=6,AC=4,
∴AD=$\frac{1}{3}$AB=2,
∴$\frac{2}{4}$=$\frac{AE}{6}$,
∴AE=3,∴CE=1,
∴S△BCE=$\frac{1}{3}$S△ABE=S△ADE,
∴S=4S△ADE,
∴$\frac{S_1}{S}$=$\frac{1}{2}$;
(2)①∵AD=x,
∴BD=6-x,
∴S1=$\frac{6-x}{x}$S△ADE,
∴S△ABE=$\frac{6}{x}$S△ADE,
由(1)知△ADE∽△ACB,
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$,
∴AE=$\frac{3}{2}$x,
∴CE=4-$\frac{3}{2}$x,
∴$\frac{{S}_{△BCE}}{{S}_{△ABE}}$=$\frac{4-\frac{3}{2}x}{\frac{3}{2}x}$=$\frac{8-3x}{3x}$,
∴S△BCE=$\frac{8-3x}{3x}$•S△ABE=$\frac{16-6x}{{x}^{2}}$S△ADE,
∴S=S△ABE+S△BCE=$\frac{16}{{x}^{2}}$S△ADE,
∴y=$\frac{s_1}{s}$=-$\frac{1}{16}$x2+$\frac{3}{8}$x(0<x<6),
②∵y=-$\frac{1}{16}$x2+$\frac{3}{8}$x=-$\frac{1}{16}$(x-3)2+$\frac{9}{16}$,
∴函数y的最大值是$\frac{9}{16}$.
点评 本题考查了相似三角形的判定和性质,圆周角定理,圆内接四边形的性质,三角形的面积的计算,求二次函数解析式和二次函数的最值,证得△ADE∽△ACB是解题的关键.
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