Question

4．如图，二次函数y=ax²+bx-2的图象交x轴于A（1，0）、B（-2，0），交y轴于点C，连接直线AC．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在二次函数的图象上，圆P与直线AC相切，切点为H．
①若P在y轴的左侧，且△CHP∽△AOC，求点P的坐标；
②若圆P的半径为4，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）将A、B两点的坐标代入抛物线的解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，从而可求得a、b的值；
（2）①由切线的性质可知PH⊥AC，当H在点C下方时，由△CHP∽△AOC可知∠PCH=∠CAO从而可证明CP∥x轴，于是得到y_P=-2，y_P=-2代入抛物线的解析式可求得x₁=0（舍去），x₂=-1，从而可求得P（-1，-2）；如图1，当H′在点C上方时，由相似三角形的性质可知：∠P′CH′=∠CAO，故此QA=QC，设OQ=m，则QC=QA=m+1，在Rt△QOC中，由勾股定理可求得m的值，从而得到点Q的坐标，然后利用待定系数法求得直线C P′的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x-2，然后将CP′与抛物线的解析式联立可求得点P′的坐标为（-$\frac{7}{3}$，$\frac{10}{9}$）．
（3）在x轴上取一点D，如图（2），过点D作DE⊥AC于点E，使DE=4．在Rt△AOC中，由勾股定理可知AC=$\sqrt{5}$，由题意可知证明△AED∽△AOC，由相似三角形的性质可求得AD=2$\sqrt{5}$，故此可得到点D的坐标为D（1-2$\sqrt{5}$，0）或D（1+2$\sqrt{5}$，0），过点D作DP∥AC，交抛物线于P，利用待定系数法可求得直线AC的解析式为y=2x-2，于是得到直线PD的解析式为y=2x+4$\sqrt{5}$-2或y=2x-4$\sqrt{5}$-2，将直线PD的解析式与抛物线的解析式联立可求得点P的坐标．

解答 解：（1）∵将x=1，y=0，x=-2，y=0代入y=ax²+bx-2得$\left\{\begin{array}{l}{a+b-2=0}\\{4a-2b-2=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²+x-2．
（2）解①∵圆P与直线AC相切，
∴PH⊥AC．
（i）如图1，当H在点C下方时，

①∵△CHP∽△AOC，
∴∠PCH=∠CAO．
∴CP∥x轴．
∴y_P=-2．
∴x²+x-2=-2．
解得x₁=0（舍去），x₂=-1，
∴P（-1，-2）．
（ii）如图1，当H′在点C上方时．
∵∠P′CH′=∠CAO，
∴QA=QC，
设OQ=m，则QC=QA=m+1，
在Rt△QOC中，由勾股定理，得m²+2²=（m+1）²，解得，m=$\frac{3}{2}$，即OQ=$\frac{3}{2}$；
设直线C P′的解析式为y=kx-2，
把Q（-$\frac{3}{2}$，0）的坐标代入，得$-\frac{3}{2}$k-2=0，解得k=-$\frac{4}{3}$，∴y=-$\frac{4}{3}$x-2，
由-$\frac{4}{3}$x-2=x²+x-2，解得x₁=0（舍去），x₂=$-\frac{7}{3}$，此时y=-$\frac{4}{3}$×（-$\frac{7}{3}$）-2=$\frac{10}{9}$，
∴P′（-$\frac{7}{3}$，$\frac{10}{9}$）．
∴点P的坐标为（-1，-2）或（-$\frac{7}{3}$，$\frac{10}{9}$）
②在x轴上取一点D，如图（2），过点D作DE⊥AC于点E，使DE=4．

在Rt△AOC中，AC=$\sqrt{A{O}^{2}+C{O}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，
∴△AED∽△AOC．
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{OC}$，即$\frac{AD}{\sqrt{5}}$=$\frac{4}{2}$，解得AD=2$\sqrt{5}$，
∴D（1-2$\sqrt{5}$，0）或D（1+2$\sqrt{5}$，0）．
过点D作DP∥AC，交抛物线于P，设直线AC的解析式为y=kx+b．
将点A、C的坐标代入抛物线的解析式得到：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{k+b=0}\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
∴直线AC的解析式为y=2x-2．
∴直线PD的解析式为y=2x+4$\sqrt{5}$-2或y=2x-4$\sqrt{5}$-2，
当2x+4$\sqrt{5}$-2=x²+x-2时，即x²-x-4$\sqrt{5}$=0，解得x₁=$\frac{1+\sqrt{1+16\sqrt{5}}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{1+16\sqrt{5}}}{2}$；
当2x-4$\sqrt{5}$-2=x²+x-2时，即x²-x+4$\sqrt{5}$=0，方程无实数根．
∴点P的坐标为（$\frac{1+\sqrt{1+16\sqrt{5}}}{2}$，$\sqrt{1+16\sqrt{5}}+4\sqrt{5}$-1）或（$\frac{1-\sqrt{1+16\sqrt{5}}}{2}$，-$\sqrt{1+16\sqrt{5}}+4\sqrt{5}-1$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了切线的性质、相似三角形的性质和判定、待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、勾股定理等知识点，求得点Q的坐标和点D的坐标是解题的关键．