Question

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-2ax-3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为$\frac{5}{4}$，求a的值；
（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由抛物线y=ax²-2ax-3a（a＜0）与x轴交于两点A、B，求得A点的坐标，作DF⊥x轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标，然后利用待定系数法法即可求得直线l的函数表达式．
（2）设点E（m，a（m+1）（m-3）），y_AE=k₁x+b₁，利用待定系数法确定y_AE=a（m-3）x+a（m-3），从而确定S_△ACE=$\frac{1}{2}$（m+1）[a（m-3）-a]=$\frac{a}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{8}$a，根据最值确定a的值即可；
（3）分以AD为对角线、以AC为边，AP为对角线、以AC为边，AQ为对角线三种情况利用矩形的性质确定点P的坐标即可．

解答 解：（1）令y=0，则ax²-2ax-3a=0，
解得x₁=-1，x₂=3
∵点A在点B的左侧，
∴A（-1，0），
如图1，作DF⊥x轴于F，
∴DF∥OC，
∴$\frac{OF}{OA}$=$\frac{CD}{AC}$，
∵CD=4AC，
∴$\frac{OF}{OA}$=$\frac{CD}{AC}$=4，
∵OA=1，
∴OF=4，
∴D点的横坐标为4，
代入y=ax²-2ax-3a得，y=5a，
∴D（4，5a），
把A、D坐标代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{4k+b=5a}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=a}\\{b=a}\end{array}\right.$，
∴直线l的函数表达式为y=ax+a．

（2）如图1，过点E作EN⊥y轴于点N
设点E（m，a（m+1）（m-3）），y_AE=k₁x+b₁，
则$\left\{\begin{array}{l}{a（m+1）（m-3）=m{k}_{1}+{b}_{1}}\\{0=-{k}_{1}+{b}_{1}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=a（m-3）}\\{{b}_{1}=a（m-3）}\end{array}\right.$，
∴y_AE=a（m-3）x+a（m-3），M（0，a（m-3））
∵MC=a（m-3）-a，NE=m
∴S_△ACE=S_△ACM+S_△CEM=$\frac{1}{2}$[a（m-3）-a]+$\frac{1}{2}$[a（m-3）-a]m=$\frac{1}{2}$（m+1）[a（m-3）-a]=$\frac{a}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{8}$a，
∴有最大值-$\frac{25}{8}$a=$\frac{5}{4}$，
∴a=-$\frac{2}{5}$；

（3）令ax²-2ax-3a=ax+a，即ax²-3ax-4a=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
∴D（4，5a），
∵y=ax²-2ax-3a，
∴抛物线的对称轴为x=1，
设P₁（1，m），
①若AD是矩形的一条边，
由AQ∥DP知x_D-x_P=x_A-x_Q，可知Q点横坐标为-4，将x=-4带入抛物线方程得Q（-4，21a），
m=y_D+y_Q=21a+5a=26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP=90°，
∴AD²+PD²=AP²，
∵AD²=[4-（-1）]²+（5a）²=5²+（5a）²，
PD²=[4-（-1）]²+（5a）²=5²+（5a）²，
∴[4-（-1）]²+（5a）²+（1-4）²+（26a-5a）²=（-1-1）²+（26a）²，
即a²=$\frac{1}{7}$，∵a＜0，∴a=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴P₁（1，-$\frac{26\sqrt{7}}{7}$）．

②若AD是矩形的一条对角线，
则线段AD的中点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{5a}{2}$），Q（2，-3a），
m=5a-（-3a）=8a，则P（1，8a），
∵四边形ADPQ为矩形，∴∠APD=90°，
∴AP²+PD²=AD²，
∵AP²=[1-（-1）]²+（8a）²=2²+（8a）²，
PD²=（4-1）²+（8a-5a）²=3²+（3a）²，
AD²=[4-（-1）]²+（5a）²=5²+（5a）²，
∴2²+（8a）²+3²+（3a）²=5²+（5a）²，
解得a²=$\frac{1}{4}$，∵a＜0，∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴P₂（1，-4）．
综上可得，P点的坐标为P₁（1，-4），P₂（1，-$\frac{26\sqrt{7}}{7}$）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及矩形的判定，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标是本题的关键．