Question

4．在△ABC中，正方形DEFG的顶点D、E在BC边上，顶点F、G分别在AC、AB上．若△ABC是等腰三角形，且腰长为10cm，底边长为12cm，则正方形DEFG的边长为$\frac{24}{5}$或$\frac{240}{49}$cm．

Answer 1

分析 此题分两种情况，①BC 是△ABC的底边，如图1，由已知条件得：AB=AC=10，BC=12，过A作AM⊥BC于M，交GF于N，根据等腰三角形的性质得到BM=$\frac{1}{2}$BC=6，AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=8，通过三角形相似得到比例式即可得到结果；
②BC 是△ABC的腰，如图2，由已知条件得：AC=BC=10，AB=12，过A作AM⊥BC于M，交GF于N，得到△AGF∽△ABC，在R_t△AMC与R_t△ABM中，根据勾股定理求得CM=$\frac{14}{5}$，得到AM=$\frac{48}{5}$，通过比例式列方程即可得到结果．

解答 解：①BC 是△ABC的底边，如图1，
由已知条件得：AB=AC=10，BC=12，
过A作AM⊥BC于M，交GF于N，
∴BM=$\frac{1}{2}$BC=6，∴AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=8，
∵四边形DEFG是正方形，
∴GF∥DE，DG=GF=DE，
∴AN⊥GF，
∴△AGF∽△ABC，
∴$\frac{GF}{BC}=\frac{AN}{AM}=\frac{AM-GF}{AM}$，
∴$\frac{GF}{12}=\frac{8-GF}{8}$，
解得；GF=$\frac{24}{5}$；
②BC 是△ABC的腰，如图2，
由已知条件得：AC=BC=10，AB=12，
过A作AM⊥BC于M，交GF于N，
∵四边形DEFG是正方形，
∴GF∥DE，DG=GF=DE，
∴AN⊥GF，
∴△AGF∽△ABC，
在R_t△AMC与R_t△ABM中，
AC²-CM²=AB²-BM²=AB²-（BC-CM）²，
即：10²-CM²=12²-（10-CM）²，
解得：CM=$\frac{14}{5}$，
∴AM=$\frac{48}{5}$，
∵△AGF∽△ABC，
∴$\frac{GF}{BC}=\frac{AN}{AM}=\frac{AM-GF}{AM}$，
即$\frac{GF}{10}=\frac{\frac{48}{5}-GF}{\frac{48}{5}}$，
解得；GF=$\frac{240}{49}$，
∴正方形DEFG的边长为：$\frac{24}{5}$或$\frac{240}{49}$，
故答案为：$\frac{24}{5}$或$\frac{240}{49}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．